Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(4sin^{4}x+sin^{2}2x=1\)

Ответ

NaN

Решение № 21905:

Конечно, давайте решим уравнение \(4 \sin^4 x + \sin^2 2x = 1\) пошагово.

1. Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), откуда \(\sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x\)
2. Подставляем \(\sin^2 2x\) в исходное уравнение: \(4 \sin^4 x + 4 \sin^2 x \cos^2 x = 1\)
3. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \(4 \sin^4 x + 4 \sin^2 x (1 - \sin^2 x) = 1\)
4. Раскрываем скобки: \(4 \sin^4 x + 4 \sin^2 x - 4 \sin^4 x = 1\)
5. Упрощаем уравнение: \(4 \sin^2 x = 1\)
6. Решаем относительно \(\sin^2 x\): \(\sin^2 x = \frac{1}{4}\)
7. Находим \(\sin x\): \(\sin x = \pm \frac{1}{2}\)
8. Решаем уравнение \(\sin x = \frac{1}{2}\): \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) или \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
9. Решаем уравнение \(\sin x = -\frac{1}{2}\): \(x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\) или \(x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\), \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), \(x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\), \(x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)