Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cos^{2}\pi x+\frac{3\sqrt{2}}{2}sin\pi x=2, \left | x \right |\leqslant \frac{1}{2}\)

Ответ

NaN

Решение № 21884:

Для решения уравнения \( \cos^2(\pi x) + \frac{3\sqrt{2}}{2} \sin(\pi x) = 2 \) при условии \( |x| \leq \frac{1}{2} \), выполним следующие шаги:

1. Введем замену \( t = \sin(\pi x) \). Тогда уравнение принимает вид: \[ \cos^2(\pi x) = 1 - \sin^2(\pi x) = 1 - t^2 \] Подставляем это в исходное уравнение: \[ 1 - t^2 + \frac{3\sqrt{2}}{2} t = 2 \]
2. Переносим все члены в одну сторону уравнения: \[ 1 - t^2 + \frac{3\sqrt{2}}{2} t - 2 = 0 \] Упрощаем: \[ -t^2 + \frac{3\sqrt{2}}{2} t - 1 = 0 \]
3. Умножаем все члены уравнения на -1: \[ t^2 - \frac{3\sqrt{2}}{2} t + 1 = 0 \]
4. Решаем квадратное уравнение \( t^2 - \frac{3\sqrt{2}}{2} t + 1 = 0 \) с помощью формулы квадратного уравнения \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = -\frac{3\sqrt{2}}{2} \), \( c = 1 \): \[ t = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \]
5. Вычисляем дискриминант: \[ \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 4 = \frac{18}{4} - 4 = \frac{18}{4} - \frac{16}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
6. Подставляем дискриминант в формулу: \[ t = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{2}}}{2} \] Упрощаем: \[ t = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \] \[ t = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{4} \] \[ t = \frac{\sqrt{2}(3 \pm 1)}{4} \]
7. Находим значения \( t \): \[ t_1 = \frac{\sqrt{2}(3 + 1)}{4} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2} \] \[ t_2 = \frac{\sqrt{2}(3 - 1)}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
8. Проверяем, какие значения \( t \) удовлетворяют условию \( |x| \leq \frac{1}{2} \). Для этого возвращаемся к замене \( t = \sin(\pi x) \): \[ \sin(\pi x) = \sqrt{2} \quad \text{(невозможно, так как } \sin(\pi x) \leq 1) \] \[ \sin(\pi x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
9. Решаем уравнение \( \sin(\pi x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ \pi x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \pi x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \] Учитывая условие \( |x| \leq \frac{1}{2} \), находим: \[ x = \frac{1}{4} \quad \text{или} \quad x = \frac{3}{4} \quad \text{(не удовлетворяет условию } |x| \leq \frac{1}{2}) \]
10. Таким образом, единственное решение, удовлетворяющее условию \( |x| \leq \frac{1}{2} \): \[ x = \frac{1}{4} \]

Ответ: \( x = \frac{1}{4} \)