Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(5tgx+cos^{-2}x=0\)
Ответ
NaN
Решение № 21898:
Конечно, давайте решим уравнение \(5 \tan x + \cos^{-2} x = 0\) пошагово.
```html
- Перепишем уравнение в более удобной форме:
\[
5 \tan x + \cos^{-2} x = 0
\]
Заметим, что \(\cos^{-2} x = \frac{1}{\cos^2 x}\).
- Заменим \(\tan x\) на \(\frac{\sin x}{\cos x}\):
\[
5 \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\cos^2 x} = 0
\]
- Умножим все слагаемые на \(\cos^2 x\), чтобы избавиться от знаменателей:
\[
5 \sin x \cos x + 1 = 0
\]
- Используем формулу двойного угла для синуса \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\):
\[
5 \sin 2x + 2 = 0
\]
- Решим уравнение относительно \(\sin 2x\):
\[
\sin 2x = -\frac{2}{5}
\]
- Найдем \(2x\) из уравнения \(\sin 2x = -\frac{2}{5}\):
\[
2x = \arcsin\left(-\frac{2}{5}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \pi - \arcsin\left(-\frac{2}{5}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
- Разделим на 2, чтобы найти \(x\):
\[
x = \frac{1}{2} \arcsin\left(-\frac{2}{5}\right) + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \arcsin\left(-\frac{2}{5}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
Ответ:
\[
x = \frac{1}{2} \arcsin\left(-\frac{2}{5}\right) + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \arcsin\left(-\frac{2}{5}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
```
Таким образом, решение уравнения \(5 \tan x + \cos^{-2} x = 0\) завершено.