Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(3+5sin2x=cos4x.\) Наибольший отрицательный корень (в градусах)

Ответ

NaN

Решение № 21893:

Решим уравнение \(3 + 5 \sin 2x = \cos 4x\) пошагово.

1. Перепишем уравнение: \(3 + 5 \sin 2x = \cos 4x\)
2. Используем тождество для косинуса двойного угла: \(\cos 4x = 1 - 2 \sin^2 2x\). Тогда уравнение принимает вид: \(3 + 5 \sin 2x = 1 - 2 \sin^2 2x\)
3. Перенесём все члены в одну сторону: \(2 \sin^2 2x + 5 \sin 2x + 2 = 0\)
4. Сделаем замену \(u = \sin 2x\). Тогда уравнение становится квадратным: \(2u^2 + 5u + 2 = 0\)
5. Решим квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения: \(u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = 2\). \[ u = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4} \] Получим два корня: \[ u_1 = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2}, \quad u_2 = \frac{-5 - 3}{4} = -2 \]
6. Рассмотрим оба случая:
   • \(\sin 2x = -\frac{1}{2}\): \[ 2x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{5\pi}{12} + k\pi \]
   • \(\sin 2x = -2\): Это невозможно, так как синус не может принимать значения за пределами \([-1, 1]\).
7. Переведём результаты в градусы: \[ x = -\frac{180^\circ}{12} + k \cdot 180^\circ = -15^\circ + k \cdot 180^\circ \] \[ x = -\frac{900^\circ}{12} + k \cdot 180^\circ = -75^\circ + k \cdot 180^\circ \]
8. Найдём наибольший отрицательный корень: \[ \text{Наибольший отрицательный корень:} \quad x = -15^\circ \]

Ответ: \(-15^\circ\)