Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(16sinx-8cos2x+7=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21887:

Для решения уравнения \(16 \sin x - 8 \cos 2x + 7 = 0\) выполним следующие шаги:

1. Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x\). Подставляем её в уравнение: \[ 16 \sin x - 8 (1 - 2 \sin^2 x) + 7 = 0 \]
2. Раскрываем скобки и упрощаем уравнение: \[ 16 \sin x - 8 + 16 \sin^2 x + 7 = 0 \] \[ 16 \sin^2 x + 16 \sin x - 1 = 0 \]
3. Вводим новую переменную \(y = \sin x\). Тогда уравнение принимает вид: \[ 16 y^2 + 16 y - 1 = 0 \]
4. Решаем квадратное уравнение относительно \(y\). Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 16\), \(b = 16\), \(c = -1\). Подставляем значения: \[ y = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-1)}}{2 \cdot 16} \] \[ y = \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 64}}{32} \] \[ y = \frac{-16 \pm \sqrt{320}}{32} \] \[ y = \frac{-16 \pm 8\sqrt{5}}{32} \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} \]
5. Получаем два возможных значения для \(y\): \[ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}, \quad y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4} \]
6. Возвращаемся к переменной \(\sin x\): \[ \sin x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4} \]
7. Проверяем, существуют ли такие значения \(x\), чтобы \(\sin x\) принимало эти значения. Заметим, что \(\sin x\) должен находиться в интервале \([-1, 1]\). \[ \frac{-1 - \sqrt{5}}{4} \approx -0.809 \quad \text{(не принадлежит интервалу [-1, 1])} \] \[ \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \approx 0.309 \quad \text{(принадлежит интервалу [-1, 1])} \]
8. Таким образом, возможным значением для \(\sin x\) является: \[ \sin x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \]
9. Находим значения \(x\), для которых \(\sin x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}\): \[ x = \arcsin \left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin \left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x_1 = \arcsin \left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \right) + 2k\pi, \quad x_2 = \pi - \arcsin \left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]