Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(tg^{2}x=12cos^{2}x\)
Ответ
NaN
Решение № 21900:
- Перепишем исходное уравнение \( \tan^2 x = 12 \cos^2 x \). Используем тождество для тангенса:
\[
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \implies \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}
\]
Тогда уравнение принимает вид:
\[
\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 12 \cos^2 x
\]
- Умножим обе части уравнения на \(\cos^2 x\):
\[
\sin^2 x = 12 \cos^4 x
\]
- Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):
\[
1 - \cos^2 x = 12 \cos^4 x
\]
- Перенесем все члены в одну сторону уравнения:
\[
12 \cos^4 x + \cos^2 x - 1 = 0
\]
- Введем замену \( t = \cos^2 x \). Тогда уравнение преобразуется в квадратное уравнение:
\[
12 t^2 + t - 1 = 0
\]
- Решим квадратное уравнение методом дискриминанта. Для уравнения \( at^2 + bt + c = 0 \) дискриминант \( D \) определяется как:
\[
D = b^2 - 4ac
\]
В нашем случае \( a = 12 \), \( b = 1 \), \( c = -1 \):
\[
D = 1^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49
\]
- Найдем корни уравнения:
\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{24} = \frac{-1 \pm 7}{24}
\]
Тогда:
\[
t_1 = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}, \quad t_2 = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3}
\]
- Так как \( t = \cos^2 x \geq 0 \), отбросим отрицательное значение \( t_2 = -\frac{1}{3} \). Остается \( t_1 = \frac{1}{4} \):
\[
\cos^2 x = \frac{1}{4} \implies \cos x = \pm \frac{1}{2}
\]
- Найдем \( x \):
\[
\cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
\[
\cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)