Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(1-\sqrt{3}sinx=cos(2\pi -2x).\) Число корней \(\left [-\frac{\pi }{2}; \pi \right ].\)

Ответ

NaN

Решение № 21892:

Решим уравнение \(1 - \sqrt{3} \sin x = \cos(2\pi - 2x)\) на интервале \(\left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]\).

1. Используем тригонометрическое тождество для косинуса: \(\cos(2\pi - 2x) = \cos(2x)\)
2. Подставляем это тождество в уравнение: \(1 - \sqrt{3} \sin x = \cos(2x)\)
3. Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x\)
4. Подставляем \(\cos(2x)\) в уравнение: \(1 - \sqrt{3} \sin x = 1 - 2\sin^2 x\)
5. Упрощаем уравнение: \(\sqrt{3} \sin x = 2\sin^2 x\)
6. Выносим \(\sin x\) за скобки: \(\sin x(2\sin x - \sqrt{3}) = 0\)
7. Рассматриваем два случая:
   1. \(\sin x = 0\): \(x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)
   2. \(2\sin x - \sqrt{3} = 0\): \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
8. Решаем \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)
9. Определяем решения на интервале \(\left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]\):
   1. \(\sin x = 0\): \(x = 0, \quad x = \pi\)
   2. \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \(x = \frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{2\pi}{3}\)
10. Подсчитываем количество корней: \(x = 0, \quad x = \pi, \quad x = \frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{2\pi}{3}\)

Ответ: 4 корня