Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cos(4x+2)+3sin(2x+1)=2\)

Ответ

NaN

Решение № 21895:

Чтобы решить уравнение \( \cos(4x + 2) + 3 \sin(2x + 1) = 2 \), следуем пошаговым действиям:

1. Начнем с замены переменной. Пусть \( y = 2x + 1 \). Тогда уравнение примет вид: \[ \cos(2y) + 3 \sin(y) = 2 \]
2. Используем тригонометрическое тождество для двойного угла: \[ \cos(2y) = 1 - 2 \sin^2(y) \] Подставим это в уравнение: \[ 1 - 2 \sin^2(y) + 3 \sin(y) = 2 \]
3. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 1 - 2 \sin^2(y) + 3 \sin(y) - 2 = 0 \] \[ -2 \sin^2(y) + 3 \sin(y) - 1 = 0 \]
4. Заменим \( \sin(y) \) на \( z \): \[ -2z^2 + 3z - 1 = 0 \]
5. Решим квадратное уравнение относительно \( z \): \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = -2 \), \( b = 3 \), \( c = -1 \). \[ z = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(-2)(-1)}}{2(-2)} \] \[ z = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{-4} \] \[ z = \frac{-3 \pm 1}{-4} \] \[ z_1 = \frac{-3 + 1}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \] \[ z_2 = \frac{-3 - 1}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1 \]
6. Теперь вернемся к \( \sin(y) \): \[ \sin(y) = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \sin(y) = 1 \]
7. Решим эти уравнения для \( y \): \[ y = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad y = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2k\pi \] \[ y = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad y = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] \[ y = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \]
8. Вернемся к \( x \): \[ 2x + 1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x + 1 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x + 1 = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] \[ 2x = \frac{\pi}{6} - 1 + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} - 1 + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \frac{\pi}{2} - 1 + 2k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{12} - \frac{1}{2} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{12} - \frac{1}{2} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + k\pi \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{12} - \frac{1}{2} + k\pi \), \( x = \frac{5\pi}{12} - \frac{1}{2} + k\pi \), \( x = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + k\pi \)