Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(2cos^{2}(x-10^{0})-7cos(x-10^{0})+3=0, 270^{0}< x< 360^{0}\)

Ответ

NaN

Решение № 21883:

Для решения уравнения \(2 \cos^2(x-10^{\circ}) - 7 \cos(x-10^{\circ}) + 3 = 0\) при \(270^{\circ} < x < 360^{\circ}\), выполним следующие шаги:

1. Перепишем уравнение в стандартной форме квадратного уравнения: \[2 \cos^2(x-10^{\circ}) - 7 \cos(x-10^{\circ}) + 3 = 0\]
2. Сделаем замену \(y = \cos(x-10^{\circ})\). Тогда уравнение примет вид: \[2y^2 - 7y + 3 = 0\]
3. Решим квадратное уравнение \(2y^2 - 7y + 3 = 0\), используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\): \[y = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4}\]
4. Вычислим значения корней: \[y = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3\] \[y = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]
5. Так как \(\cos(x-10^{\circ})\) должен принимать значения в диапазоне \([-1, 1]\), отбросим неподходящее значение \(y = 3\). Остаётся: \[y = \frac{1}{2}\]
6. Теперь решим уравнение \(\cos(x-10^{\circ}) = \frac{1}{2}\). Для этого найдём \(x\): \[x - 10^{\circ} = \pm 60^{\circ} + 360^{\circ}k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}\]
7. Рассмотрим положительный и отрицательный случаи: \[x = 70^{\circ} + 360^{\circ}k\] \[x = -50^{\circ} + 360^{\circ}k\]
8. Учитывая условие \(270^{\circ} < x < 360^{\circ}\), найдём подходящие значения \(x\): \[x = 70^{\circ} + 360^{\circ}k \text{ не подходит, так как не попадает в интервал}\] \[x = -50^{\circ} + 360^{\circ}k = 310^{\circ} \text{ (при } k = 1\text{)}\]
9. Таким образом, единственное значение \(x\), удовлетворяющее условию, это: \[x = 310^{\circ}\]

Ответ: \(x = 310^{\circ}\)