Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \((cos2x-1)ctg^{2}x=-3sinx\)

Ответ

NaN

Решение № 21910:

1. Начнём с замены переменной. Пусть \( t = \sin x \). Тогда \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2t^2 \) и \( \cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1 - t^2}{t^2} \).
2. Подставляем эти выражения в исходное уравнение: \[ (1 - 2t^2 - 1) \cdot \frac{1 - t^2}{t^2} = -3t \] Упрощаем: \[ -2t^2 \cdot \frac{1 - t^2}{t^2} = -3t \]
3. Умножаем обе части уравнения на \( t^2 \) (предполагая, что \( t \neq 0 \)): \[ -2t^2 (1 - t^2) = -3t^3 \] Упрощаем: \[ -2t^2 + 2t^4 = -3t^3 \]
4. Переносим все члены в одну сторону уравнения: \[ 2t^4 - 3t^3 - 2t^2 = 0 \]
5. Выносим общий множитель \( t^2 \): \[ t^2 (2t^2 - 3t - 2) = 0 \]
6. Решаем уравнение \( t^2 = 0 \) и \( 2t^2 - 3t - 2 = 0 \) отдельно:
• \( t^2 = 0 \) даёт \( t = 0 \), что не подходит, так как \( t = \sin x \neq 0 \).
• Решаем квадратное уравнение \( 2t^2 - 3t - 2 = 0 \) с помощью формулы квадратного уравнения \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4} \] Получаем два решения: \[ t = \frac{8}{4} = 2 \quad \text{(не подходит, так как \( \sin x \) не может быть больше 1)} \] \[ t = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]
7. Решение \( t = -\frac{1}{2} \) соответствует \( \sin x = -\frac{1}{2} \).
8. Находим \( x \): \[ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)