Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cos^{2}x+20cos^{2}\frac{x}{2}-cos^{2}\left ( x+\frac{137\pi }{2} \right )+3sin\left ( x-\frac{3\pi }{2} \right )=3\)

Ответ

NaN

Решение № 21901:

Конечно, давайте решим уравнение пошагово: \[ \cos^2 x + 20 \cos^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \left( x + \frac{137 \pi}{2} \right) + 3 \sin \left( x - \frac{3 \pi}{2} \right) = 3 \]

1. Используем свойство периодичности тригонометрических функций: \[ \cos^2 \left( x + \frac{137 \pi}{2} \right) = \cos^2 \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \] и \[ \sin \left( x - \frac{3 \pi}{2} \right) = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \]
2. Применяем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \sin^2 x$ и $\sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \cos x$: \[ \cos^2 x + 20 \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 x + 3 \cos x = 3 \]
3. Используем формулу двойного угла для косинуса: \[ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \] и \[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \]
4. Подставляем эти выражения в уравнение: \[ \frac{1 + \cos 2x}{2} + 20 \cos^2 \frac{x}{2} - \frac{1 - \cos 2x}{2} + 3 \cos x = 3 \]
5. Упрощаем выражение: \[ \frac{1 + \cos 2x}{2} + 20 \cos^2 \frac{x}{2} - \frac{1 - \cos 2x}{2} + 3 \cos x = 3 \] \[ \frac{1 + \cos 2x - 1 + \cos 2x}{2} + 20 \cos^2 \frac{x}{2} + 3 \cos x = 3 \] \[ \cos 2x + 20 \cos^2 \frac{x}{2} + 3 \cos x = 3 \]
6. Используем формулу двойного угла для косинуса: \[ \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \]
7. Подставляем это выражение в уравнение: \[ 2 \cos^2 x - 1 + 20 \cos^2 \frac{x}{2} + 3 \cos x = 3 \]
8. Используем основное тригонометрическое тождество для $\cos^2 \frac{x}{2}$: \[ \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} \]
9. Подставляем это выражение в уравнение: \[ 2 \cos^2 x - 1 + 20 \left( \frac{1 + \cos x}{2} \right) + 3 \cos x = 3 \] \[ 2 \cos^2 x - 1 + 10 (1 + \cos x) + 3 \cos x = 3 \] \[ 2 \cos^2 x - 1 + 10 + 10 \cos x + 3 \cos x = 3 \] \[ 2 \cos^2 x + 13 \cos x + 9 = 3 \]
10. Переносим все члены в одну сторону: \[ 2 \cos^2 x + 13 \cos x + 6 = 0 \]
11. Решаем квадратное уравнение относительно $\cos x$: \[ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 2\), \(b = 13\), и \(c = 6\): \[ \cos x = \frac{-13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2} \] \[ \cos x = \frac{-13 \pm \sqrt{169 - 48}}{4} \] \[ \cos x = \frac{-13 \pm \sqrt{121}}{4} \] \[ \cos x = \frac{-13 \pm 11}{4} \] \[ \cos x = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \cos x = \frac{-24}{4} = -6 \]
12. Отбрасываем невозможное значение $\cos x = -6$, так как значение косинуса лежит в диапазоне \([-1, 1]\): \[ \cos x = -\frac{1}{2} \]
13. Находим значения $x$, для которых $\cos x = -\frac{1}{2}$: \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$