Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(2+cos4x-2\sqrt{2}sin\left ( 2x+\frac{\pi }{2} \right )=0\)
Ответ
NaN
Решение № 21894:
Решим уравнение \(2 + \cos 4x - 2\sqrt{2} \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = 0\) пошагово.
```html
- Используем тригонометрическое тождество для синуса:
\(\sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos 2x\). Тогда уравнение принимает вид:
\[2 + \cos 4x - 2\sqrt{2} \cos 2x = 0\]
- Используем формулу двойного угла для косинуса:
\(\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1\). Подставляем это в уравнение:
\[2 + (2\cos^2 2x - 1) - 2\sqrt{2} \cos 2x = 0\]
Упрощаем:
\[2\cos^2 2x - 2\sqrt{2} \cos 2x + 1 = 0\]
- Заменяем \(\cos 2x\) на \(y\):
\[2y^2 - 2\sqrt{2}y + 1 = 0\]
- Решаем квадратное уравнение относительно \(y\):
\[y = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}\]
\[y = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8}}{4}\]
\[y = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]
- Рассматриваем оба корня:
\[y_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad y_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}\]
- Возвращаемся к \(\cos 2x\):
\[\cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}\]
- Решаем уравнение \(\cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}\):
\[2x = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]
\[x = \pm \frac{\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]
Ответ: \(x = \pm \frac{\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)
```