Решение №21484: Для решения системы уравнений: \[ \left\{\begin{matrix} x - y = 1, \\ \cos \pi x + \sqrt{3} = \cos \pi y. \end{matrix}\right. \] последовательно выполним следующие шаги: 1. **Выразим \( y \) через \( x \) из первого уравнения:** \[ x - y = 1 \implies y = x - 1 \] 2. **Подставим \( y = x - 1 \) во второе уравнение:** \[ \cos \pi x + \sqrt{3} = \cos \pi (x - 1) \] 3. **Упростим второе уравнение:** \[ \cos \pi (x - 1) = \cos (\pi x - \pi) = \cos \pi x \cdot \cos \pi + \sin \pi x \cdot \sin \pi \] Поскольку \(\cos \pi = -1\) и \(\sin \pi = 0\), получаем: \[ \cos \pi (x - 1) = \cos \pi x \cdot (-1) = -\cos \pi x \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ \cos \pi x + \sqrt{3} = -\cos \pi x \] 4. **Решим уравнение для \( \cos \pi x \):** \[ \cos \pi x + \sqrt{3} = -\cos \pi x \implies 2 \cos \pi x = -\sqrt{3} \implies \cos \pi x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] 5. **Найдем \( x \) из уравнения \( \cos \pi x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \):** \[ \cos \pi x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies \pi x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pm \frac{5}{6} + 2k, \quad k \in \mathbb{Z} \] 6. **Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):** \[ y = x - 1 \] Для \( x = \frac{5}{6} + 2k \): \[ y = \frac{5}{6} + 2k - 1 = -\frac{1}{6} + 2k \] Для \( x = -\frac{5}{6} + 2k \): \[ y = -\frac{5}{6} + 2k - 1 = -\frac{11}{6} + 2k \] Таким образом, решения системы уравнений: \[ \left( \frac{5}{6} + 2k, -\frac{1}{6} + 2k \right), \quad k \in \mathbb{Z} \] и \[ \left( -\frac{5}{6} + 2k, -\frac{11}{6} + 2k \right), \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(\left( \frac{5}{6} + 2k, -\frac{1}{6} + 2k \right), \left( -\frac{5}{6} + 2k, -\frac{11}{6} + 2k \right), \quad k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21485:

1. Рассмотрим первое уравнение системы: \[ y - x = 3 \] Из этого уравнения можно выразить \( y \) через \( x \): \[ y = x + 3 \]
2. Подставим \( y = x + 3 \) во второе уравнение системы: \[ \sin \pi x - \sqrt{3} = \sin \pi (x + 3) \]
3. Используем периодичность функции синуса: \(\sin \pi (x + 3) = \sin (\pi x + 3\pi) = -\sin \pi x\). Тогда уравнение принимает вид: \[ \sin \pi x - \sqrt{3} = -\sin \pi x \]
4. Перенесем \(\sin \pi x\) на одну сторону уравнения: \[ 2 \sin \pi x = \sqrt{3} \] \[ \sin \pi x = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
5. Решим уравнение \(\sin \pi x = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Значения угла, при которых синус равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), это \(\frac{\pi}{3}\) и \(\frac{2\pi}{3}\). Поэтому: \[ \pi x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \pi x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
6. Разделим обе части уравнений на \(\pi\): \[ x = \frac{1}{3} + 2k \quad \text{или} \quad x = \frac{2}{3} + 2k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
7. Подставим найденные значения \( x \) в выражение \( y = x + 3 \): \[ y = \left(\frac{1}{3} + 2k\right) + 3 = \frac{10}{3} + 2k \quad \text{или} \quad y = \left(\frac{2}{3} + 2k\right) + 3 = \frac{11}{3} + 2k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = \frac{1}{3} + 2k, \quad y = \frac{10}{3} + 2k \quad \text{или} \quad x = \frac{2}{3} + 2k, \quad y = \frac{11}{3} + 2k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21486: Для решения системы уравнений \(\left\{\begin{matrix} y - x = \frac{\pi}{6}, \\ 2 \cos y = \sqrt{3} \cos x. \end{matrix}\right.\) выполним следующие шаги:

1. Из первого уравнения выразим \(y\) через \(x\): \[ y = x + \frac{\pi}{6} \]
2. Подставим \(y = x + \frac{\pi}{6}\) во второе уравнение: \[ 2 \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cos x \]
3. Используем формулу косинуса суммы углов: \[ \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \cos x \cos \frac{\pi}{6} - \sin x \sin \frac{\pi}{6} \] Подставим известные значения \(\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\): \[ 2 \left(\cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin x \cdot \frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} \cos x \]
4. Упростим выражение: \[ \sqrt{3} \cos x - \sin x = \sqrt{3} \cos x \] \[ -\sin x = 0 \]
5. Решим уравнение \(\sin x = 0\): \[ x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
6. Подставим \(x = k\pi\) в выражение для \(y\): \[ y = k\pi + \frac{\pi}{6} \]
7. Получаем решение системы: \[ \left(x, y\right) = \left(k\pi, k\pi + \frac{\pi}{6}\right), \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(\left(x, y\right) = \left(k\pi, k\pi + \frac{\pi}{6}\right), \quad k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21487: Для решения системы уравнений: \[ \left\{\begin{matrix} y - x = -\frac{\pi}{3}, \\ \sin x = 2 \sin y. \end{matrix}\right. \] следуем следующим шагам:

1. Из первого уравнения выражаем \( y \) через \( x \): \[ y = x - \frac{\pi}{3} \]
2. Подставляем \( y = x - \frac{\pi}{3} \) во второе уравнение: \[ \sin x = 2 \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) \]
3. Используем формулу синуса разности: \[ \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) = \sin x \cos \frac{\pi}{3} - \cos x \sin \frac{\pi}{3} \] Зная, что \(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\) и \(\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем: \[ \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) = \sin x \cdot \frac{1}{2} - \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
4. Подставляем это выражение во второе уравнение: \[ \sin x = 2 \left( \sin x \cdot \frac{1}{2} - \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \] \[ \sin x = \sin x - \sqrt{3} \cos x \]
5. Упрощаем уравнение: \[ \sin x - \sin x = - \sqrt{3} \cos x \] \[ 0 = - \sqrt{3} \cos x \] \[ \cos x = 0 \]
6. Находим \( x \) из уравнения \(\cos x = 0\): \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
7. Подставляем \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) в выражение для \( y \): \[ y = \left( \frac{\pi}{2} + \pi k \right) - \frac{\pi}{3} \] \[ y = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi k \] \[ y = \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi k \] \[ y = \frac{\pi}{6} + \pi k \]

Ответ: \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \\ y = \frac{\pi}{6} + \pi k, \end{matrix}\right. \quad k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21488: Решим систему уравнений: \[\left\{\begin{matrix} x-y=\frac{3\pi }{2},\\ 5\cos^{2}x=6\sin y-1. \end{matrix}\right.\]

1. Из первого уравнения выразим \( y \): \[ y = x - \frac{3\pi}{2} \]
2. Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ 5\cos^{2}x = 6\sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) - 1 \]
3. Используем тригонометрическое тождество \(\sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos x\): \[ 5\cos^{2}x = 6\cos x - 1 \]
4. Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения относительно \(\cos x\): \[ 5\cos^{2}x - 6\cos x + 1 = 0 \]
5. Решим квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16 \]
6. Найдем корни квадратного уравнения: \[ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 4}{10} \] \[ \cos x = \frac{6 + 4}{10} = 1 \] \[ \cos x = \frac{6 - 4}{10} = \frac{1}{5} \]
7. Найдем \( x \), используя значения \(\cos x\): \[ \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ \cos x = \frac{1}{5} \Rightarrow x = \pm \arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
8. Найдем \( y \) для каждого значения \( x \): \[ \text{Для } x = 2\pi k: \] \[ y = 2\pi k - \frac{3\pi}{2} \] \[ \text{Для } x = \pm \arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2\pi n: \] \[ y = \pm \arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2\pi n - \frac{3\pi}{2} \]

Ответ: \[ \left(2\pi k, 2\pi k - \frac{3\pi}{2}\right), k \in \mathbb{Z} \] \[ \left(\pm \arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2\pi n, \pm \arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2\pi n - \frac{3\pi}{2}\right), n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21489: Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} y - x = \frac{5\pi}{2}, \\ 3\sin^2 x = 10\cos y - 3. \end{matrix} \right. \] Пошаговое решение:

1. Из первого уравнения выразим \( y \) через \( x \): \[ y = x + \frac{5\pi}{2} \]
2. Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ 3\sin^2 x = 10\cos\left(x + \frac{5\pi}{2}\right) - 3 \]
3. Используем тригонометрическое тождество для косинуса: \[ \cos\left(x + \frac{5\pi}{2}\right) = \cos\left(x + 2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \]
4. Используем тождество \(\cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin x\): \[ \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin x \]
5. Подставим это в уравнение: \[ 3\sin^2 x = 10(-\sin x) - 3 \] \[ 3\sin^2 x = -10\sin x - 3 \]
6. Перенесём все члены в одну сторону уравнения: \[ 3\sin^2 x + 10\sin x + 3 = 0 \]
7. Получим квадратное уравнение относительно \(\sin x\): \[ 3u^2 + 10u + 3 = 0, \quad \text{где } u = \sin x \]
8. Решим квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней: \[ u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 3\), \(b = 10\), \(c = 3\): \[ u = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} \] \[ u = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} \] \[ u = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{6} \] \[ u = \frac{-10 \pm 8}{6} \]
9. Найдём корни: \[ u_1 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \] \[ u_2 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \]
10. Так как \(\sin x\) должно быть в диапазоне \([-1, 1]\), то \(\sin x = -3\) невозможно. Остаётся \(\sin x = -\frac{1}{3}\): \[ \sin x = -\frac{1}{3} \]
11. Найдём \(x\), решая уравнение \(\sin x = -\frac{1}{3}\): \[ x = \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
12. Подставим \(x\) в первое уравнение для нахождения \(y\): \[ y = x + \frac{5\pi}{2} \]

Ответ: \[ x = \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ y = x + \frac{5\pi}{2} \]

Ответ: NaN

Решение №21490: Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} x + y = \frac{\pi}{4}, \\ \tan(x) - \tan(y) = 2. \end{matrix} \right. \] Рассмотрим следующие шаги:

1. Из первого уравнения выразим \( y \) через \( x \): \[ y = \frac{\pi}{4} - x \]
2. Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ \tan(x) - \tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 2 \]
3. Используем формулу тангенса разности: \[ \tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \tan(x)}{1 + \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \tan(x)} \] Зная, что \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\), получаем: \[ \tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{1 - \tan(x)}{1 + \tan(x)} \]
4. Подставим это выражение во второе уравнение: \[ \tan(x) - \frac{1 - \tan(x)}{1 + \tan(x)} = 2 \]
5. Пусть \( t = \tan(x) \). Тогда уравнение примет вид: \[ t - \frac{1 - t}{1 + t} = 2 \]
6. Приведем дроб к общему знаменателю и упростим: \[ t - \frac{1 - t}{1 + t} = 2 \implies t(1 + t) - (1 - t) = 2(1 + t) \] \[ t + t^2 - 1 + t = 2 + 2t \] \[ t^2 + 2t - 1 = 2 + 2t \] \[ t^2 - 3 = 0 \]
7. Решим квадратное уравнение: \[ t^2 = 3 \implies t = \pm \sqrt{3} \]
8. Таким образом, \(\tan(x) = \sqrt{3}\) или \(\tan(x) = -\sqrt{3}\). Рассмотрим каждый случай отдельно:
   • Если \(\tan(x) = \sqrt{3}\), то \( x = \frac{\pi}{3} + k\pi \) для некоторого целого \( k \).
   • Если \(\tan(x) = -\sqrt{3}\), то \( x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \) для некоторого целого \( k \).
9. Подставим \( x \) в первое уравнение и найдем \( y \):
   • Для \( x = \frac{\pi}{3} + k\pi \): \[ y = \frac{\pi}{4} - \left(\frac{\pi}{3} + k\pi\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} - k\pi = \frac{\pi}{12} - k\pi \]
   • Для \( x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \): \[ y = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{3} + k\pi\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} - k\pi = \frac{7\pi}{12} - k\pi \]

Ответ: NaN

Решение №21491: Для решения системы уравнений: \[ \left\{\begin{matrix} x + y = \frac{3\pi}{4}, \\ \tan y - \tan x = 2. \end{matrix}\right. \] мы будем следовать следующим шагам:

1. Выразим \( y \) из первого уравнения: \[ y = \frac{3\pi}{4} - x \]
2. Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ \tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) - \tan x = 2 \]
3. Используем формулу для тангенса разности углов: \[ \tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) = \frac{\tan\frac{3\pi}{4} - \tan x}{1 + \tan\frac{3\pi}{4} \tan x} \] Знаем, что \(\tan\frac{3\pi}{4} = -1\), так как \(\tan(\pi - \theta) = -\tan\theta\). Поэтому: \[ \tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) = \frac{-1 - \tan x}{1 - \tan x} \]
4. Подставим это в уравнение: \[ \frac{-1 - \tan x}{1 - \tan x} - \tan x = 2 \] Умножим обе части на \(1 - \tan x\): \[ -1 - \tan x - \tan x (1 - \tan x) = 2(1 - \tan x) \] Раскроем скобки: \[ -1 - \tan x - \tan x + \tan^2 x = 2 - 2\tan x \] Перенесем все члены в одну сторону: \[ \tan^2 x - 4\tan x + 3 = 0 \]
5. Решим квадратное уравнение: \[ \tan^2 x - 4\tan x + 3 = 0 \] Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\) с \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\). Решим его с помощью формулы для нахождения корней: \[ \tan x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставим значения: \[ \tan x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \] Получим два корня: \[ \tan x = 3 \quad \text{или} \quad \tan x = 1 \]
6. Найдем \( x \) и \( y \) для каждого из корней:
   1. Для \(\tan x = 1\): \[ x = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \] Тогда: \[ y = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \]
   2. Для \(\tan x = 3\): \[ x = \arctan(3) \] Тогда: \[ y = \frac{3\pi}{4} - \arctan(3) \]

Ответ: \(\left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right)\) или \(\left( \arctan(3), \frac{3\pi}{4} - \arctan(3) \right)\)

Ответ: NaN

Решение №21492: Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} x + y = \frac{\pi}{6}, \\ 5(\sin 2x + \sin 2y) = 2(1 + \cos^2(x - y)). \end{matrix} \right. \] последовательно выполним следующие шаги:

1. Выразим \( y \) из первого уравнения: \[ y = \frac{\pi}{6} - x \]
2. Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ 5(\sin 2x + \sin 2\left(\frac{\pi}{6} - x\right)) = 2(1 + \cos^2(x - \left(\frac{\pi}{6} - x\right))) \]
3. Упростим выражение \(\sin 2\left(\frac{\pi}{6} - x\right)\): \[ \sin 2\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) \]
4. Используем формулу суммы синусов: \[ \sin 2x + \sin\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = 2 \sin\left(\frac{2x + \frac{\pi}{3} - 2x}{2}\right) \cos\left(\frac{2x - \left(\frac{\pi}{3} - 2x\right)}{2}\right) \] \[ = 2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) \]
5. Подставим это в уравнение: \[ 5 \cdot 2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = 2(1 + \cos^2(2x - \frac{\pi}{6})) \]
6. Упростим \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ 5 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = 2(1 + \cos^2(2x - \frac{\pi}{6})) \] \[ 5 \sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = 2(1 + \cos^2(2x - \frac{\pi}{6})) \]
7. Упростим \(\cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right)\): \[ \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) \]
8. Подставим это в уравнение: \[ 5 \sqrt{3} \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 2(1 + \cos^2(2x - \frac{\pi}{6})) \]
9. Упростим \(\cos^2(2x - \frac{\pi}{6})\): \[ \cos^2(2x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1 + \cos(2(2x - \frac{\pi}{6}))}{2} \]
10. Подставим это в уравнение: \[ 5 \sqrt{3} \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 2\left(1 + \frac{1 + \cos(4x - \frac{\pi}{3})}{2}\right) \] \[ 5 \sqrt{3} \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 2 + 1 + \cos(4x - \frac{\pi}{3}) \] \[ 5 \sqrt{3} \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 3 + \cos(4x - \frac{\pi}{3}) \]
11. Рассмотрим два случая:
    1. Случай 1: \(\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 0\): \[ \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \implies 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + k\pi \] \[ 2x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \implies x = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} \] \[ y = \frac{\pi}{6} - x = \frac{\pi}{6} - \left(\frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{4} - \frac{k\pi}{2} \]
    2. Случай 2: \(\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 1\): \[ \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 1 \implies 2x - \frac{\pi}{3} = 2k\pi \implies 2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{6} + k\pi \] \[ y = \frac{\pi}{6} - x = \frac{\pi}{6} - \left(\frac{\pi}{6} + k\pi\right) = -k\pi \]

Ответ: \((x, y) = \left(\frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, -\frac{\pi}{4} - \frac{k\pi}{2}\right)\) или \((x, y) = \left(\frac{\pi}{6} + k\pi, -k\pi\right)\), где \(k\) — целое число.

Ответ: NaN

Решение №21493: Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} x - y = -\frac{1}{3}, \\ \cos^2 \pi x - \sin^2 \pi x = \frac{1}{2}. \end{matrix} \right. \] следуйте следующим шагам:

1. Рассмотрим первое уравнение: \[ x - y = -\frac{1}{3} \] Выразим \( y \) через \( x \): \[ y = x + \frac{1}{3} \]
2. Рассмотрим второе уравнение: \[ \cos^2 \pi x - \sin^2 \pi x = \frac{1}{2} \] Используем тригонометрическую идентичность для косинуса двойного угла: \[ \cos 2\pi x = \cos^2 \pi x - \sin^2 \pi x \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ \cos 2\pi x = \frac{1}{2} \]
3. Решим уравнение \(\cos 2\pi x = \frac{1}{2}\): \[ 2\pi x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] Разделим на \(2\pi\): \[ x = \pm \frac{1}{6} + k \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]
4. Подставим \( x \) в выражение для \( y \): \[ y = \left( \pm \frac{1}{6} + k \right) + \frac{1}{3} \] Упростим: \[ y = \pm \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + k = \pm \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + k = \pm \frac{1}{6} + \frac{1}{2} + k \]
5. Таким образом, решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} x = \pm \frac{1}{6} + k, \\ y = \pm \frac{1}{6} + \frac{1}{2} + k, \end{matrix} \right. \] где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \[ \left( \pm \frac{1}{6} + k, \pm \frac{1}{6} + \frac{1}{2} + k \right), \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21494: Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} x + y = -\frac{4\pi}{3}, \\ \sin x \sin y = \frac{3}{4}. \end{matrix} \right. \] следуем следующим шагам:

1. Из первого уравнения выражаем \( y \) через \( x \): \[ y = -\frac{4\pi}{3} - x \]
2. Подставляем \( y \) во второе уравнение: \[ \sin x \sin \left( -\frac{4\pi}{3} - x \right) = \frac{3}{4} \]
3. Используем свойство синуса: \(\sin(-a) = -\sin(a)\): \[ \sin x \left( -\sin \left( \frac{4\pi}{3} + x \right) \right) = \frac{3}{4} \]
4. Используем периодичность синуса: \(\sin \left( \frac{4\pi}{3} + x \right) = \sin \left( x + \frac{4\pi}{3} \right)\): \[ -\sin x \sin \left( x + \frac{4\pi}{3} \right) = \frac{3}{4} \]
5. Используем формулу для синуса суммы углов: \(\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\): \[ -\sin x \left( \sin x \cos \frac{4\pi}{3} + \cos x \sin \frac{4\pi}{3} \right) = \frac{3}{4} \]
6. Подставляем значения \(\cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}\) и \(\sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ -\sin x \left( \sin x \left( -\frac{1}{2} \right) + \cos x \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right) = \frac{3}{4} \]
7. Упрощаем выражение: \[ -\sin x \left( -\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) = \frac{3}{4} \] \[ \sin x \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) = \frac{3}{4} \]
8. Раскрываем скобки: \[ \frac{1}{2} \sin^2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \cos x = \frac{3}{4} \]
9. Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\): \[ \frac{1}{2} \sin^2 x + \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2x = \frac{3}{4} \]
10. Подставляем \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\): \[ \frac{1}{2} (1 - \cos^2 x) + \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2x = \frac{3}{4} \]
11. Упрощаем уравнение: \[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos^2 x + \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2x = \frac{3}{4} \] \[ -\frac{1}{2} \cos^2 x + \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2x = \frac{1}{4} \]
12. Умножаем все на 4: \[ -2 \cos^2 x + \sqrt{3} \sin 2x = 1 \]
13. Решаем полученное уравнение для \( x \). Для этого можно использовать графический метод или численные методы, чтобы найти значения \( x \), удовлетворяющие уравнению.
14. Подставляем найденные значения \( x \) в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения \( y \).

Ответ: Решение системы уравнений требует численных методов или графического анализа для нахождения точных значений \( x \) и \( y \).

Ответ: NaN

Решение №21495: Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} x - y = -\frac{\pi}{3}, \\ \operatorname{ctg} x \cdot \operatorname{ctg} y = \frac{1}{3}. \end{matrix} \right. \] следуем пошаговому плану:

1. Решим первое уравнение \(x - y = -\frac{\pi}{3}\) относительно \(y\): \[ y = x + \frac{\pi}{3} \]
2. Подставим \(y = x + \frac{\pi}{3}\) во второе уравнение: \[ \operatorname{ctg} x \cdot \operatorname{ctg} \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{3} \]
3. Используем формулу для котангенса суммы углов: \[ \operatorname{ctg} \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\operatorname{ctg} x \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} - 1}{\operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3}} \] Здесь \(\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}\), тогда: \[ \operatorname{ctg} \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\operatorname{ctg} x \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - 1}{\operatorname{ctg} x + \frac{1}{\sqrt{3}}} \]
4. Подставим это выражение в уравнение: \[ \operatorname{ctg} x \cdot \frac{\operatorname{ctg} x \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - 1}{\operatorname{ctg} x + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1}{3} \]
5. Упростим уравнение: \[ \operatorname{ctg} x \cdot \left(\frac{\operatorname{ctg} x - \sqrt{3}}{\sqrt{3} \operatorname{ctg} x + 1}\right) = \frac{1}{3} \] \[ \frac{\operatorname{ctg}^2 x - \operatorname{ctg} x \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \operatorname{ctg} x + 1} = \frac{1}{3} \]
6. Умножим обе части уравнения на \(3(\sqrt{3} \operatorname{ctg} x + 1)\): \[ 3(\operatorname{ctg}^2 x - \operatorname{ctg} x \cdot \sqrt{3}) = \sqrt{3} \operatorname{ctg} x + 1 \] \[ 3 \operatorname{ctg}^2 x - 3 \operatorname{ctg} x \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \operatorname{ctg} x + 1 \]
7. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 3 \operatorname{ctg}^2 x - 4 \operatorname{ctg} x \cdot \sqrt{3} - 1 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение относительно \(\operatorname{ctg} x\): \[ \operatorname{ctg} x = \frac{4 \sqrt{3} \pm \sqrt{(4 \sqrt{3})^2 + 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} \] \[ \operatorname{ctg} x = \frac{4 \sqrt{3} \pm \sqrt{48 + 12}}{6} \] \[ \operatorname{ctg} x = \frac{4 \sqrt{3} \pm \sqrt{60}}{6} \] \[ \operatorname{ctg} x = \frac{4 \sqrt{3} \pm 2 \sqrt{15}}{6} \] \[ \operatorname{ctg} x = \frac{2 \sqrt{3} \pm \sqrt{15}}{3} \]
9. Найдем значения \(x\): \[ x = \operatorname{arcctg} \left(\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{15}}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \operatorname{arcctg} \left(\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{15}}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
10. Найдем соответствующие значения \(y\): \[ y = \operatorname{arcctg} \left(\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{15}}{3}\right) + \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ y = \operatorname{arcctg} \left(\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{15}}{3}\right) + \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ:

Ответ: NaN

Решение №21496: Для решения системы уравнений: \[ \left\{\begin{matrix} \sin(x + y) = \frac{1}{2}, \\ \tan(x - y) = 1. \end{matrix}\right. \] следуем пошагово:

1. Рассмотрим первое уравнение: \[ \sin(x + y) = \frac{1}{2} \] Известно, что \(\sin(\theta) = \frac{1}{2}\) при \(\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) или \(\theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число. Следовательно, \[ x + y = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x + y = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \]
2. Рассмотрим второе уравнение: \[ \tan(x - y) = 1 \] Известно, что \(\tan(\theta) = 1\) при \(\theta = \frac{\pi}{4} + m\pi\), где \(m\) — целое число. Следовательно, \[ x - y = \frac{\pi}{4} + m\pi \]
3. Теперь у нас есть две системы уравнений: \[ \left\{\begin{matrix} x + y = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \\ x - y = \frac{\pi}{4} + m\pi, \end{matrix}\right. \quad \text{или} \quad \left\{\begin{matrix} x + y = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \\ x - y = \frac{\pi}{4} + m\pi. \end{matrix}\right. \]
4. Решим первую систему: \[ \left\{\begin{matrix} x + y = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \\ x - y = \frac{\pi}{4} + m\pi. \end{matrix}\right. \] Сложим уравнения: \[ (x + y) + (x - y) = \left(\frac{\pi}{6} + 2k\pi\right) + \left(\frac{\pi}{4} + m\pi\right) \] \[ 2x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi + m\pi \] \[ 2x = \frac{2\pi + 3\pi}{12} + 2k\pi + m\pi = \frac{5\pi}{12} + (2k + m)\pi \] \[ x = \frac{5\pi}{24} + \frac{(2k + m)\pi}{2} \] Теперь выразим \(y\): \[ x + y = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \] \[ y = \frac{\pi}{6} + 2k\pi - x \] \[ y = \frac{\pi}{6} + 2k\pi - \left(\frac{5\pi}{24} + \frac{(2k + m)\pi}{2}\right) \] \[ y = \frac{4\pi}{24} - \frac{5\pi}{24} + 2k\pi - \frac{(2k + m)\pi}{2} \] \[ y = -\frac{\pi}{24} + 2k\pi - \frac{(2k + m)\pi}{2} \] \[ y = -\frac{\pi}{24} + \frac{(4k - 2k - m)\pi}{2} \] \[ y = -\frac{\pi}{24} + \frac{(2k - m)\pi}{2} \]
5. Решим вторую систему: \[ \left\{\begin{matrix} x + y = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \\ x - y = \frac{\pi}{4} + m\pi. \end{matrix}\right. \] Сложим уравнения: \[ (x + y) + (x - y) = \left(\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\right) + \left(\frac{\pi}{4} + m\pi\right) \] \[ 2x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi + m\pi \] \[ 2x = \frac{10\pi + 3\pi}{12} + 2k\pi + m\pi = \frac{13\pi}{12} + (2k + m)\pi \] \[ x = \frac{13\pi}{24} + \frac{(2k + m)\pi}{2} \] Теперь выразим \(y\): \[ x + y = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] \[ y = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi - x \] \[ y = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi - \left(\frac{13\pi}{24} + \frac{(2k + m)\pi}{2}\right) \] \[ y = \frac{20\pi}{24} - \frac{13\pi}{24} + 2k\pi - \frac{(2k + m)\pi}{2} \] \[ y = \frac{7\pi}{24} + 2k\pi - \frac{(2k + m)\pi}{2} \] \[ y = \frac{7\pi}{24} + \frac{(4k - 2k - m)\pi}{2} \] \[ y = \frac{7\pi}{24} + \frac{(2k - m)\pi}{2} \]
6. Таким образом, решения системы уравнений: \[ \left\{\begin{matrix} x = \frac{5\pi}{24} + \frac{(2k + m)\pi}{2}, \\ y = -\frac{\pi}{24} + \frac{(2k - m)\pi}{2}, \end{matrix}\right. \quad \text{или} \quad \left\{\begin{matrix} x = \frac{13\pi}{24} + \frac{(2k + m)\pi}{2}, \\ y = \frac{7\pi}{24} + \frac{(2k - m)\pi}{2}. \end{matrix}\right. \]

Ответ:

Ответ: NaN

Решение №21497: Для решения системы уравнений \(\left\{\begin{matrix} \sin x \sin y = \frac{3}{4}, \\ \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y = 3. \end{matrix}\right.\) пошагово:

1. Перепишем систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} \sin x \sin y = \frac{3}{4}, \\ \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y = 3. \end{matrix}\right.\)
2. Вспомним, что \(\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}\) и \(\operatorname{tg} y = \frac{\sin y}{\cos y}\). Тогда второе уравнение можно переписать как: \(\frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = 3\)
3. Из первого уравнения знаем, что \(\sin x \sin y = \frac{3}{4}\). Подставим это значение во второе уравнение: \(\frac{\frac{3}{4}}{\cos x \cos y} = 3\)
4. Решим уравнение для \(\cos x \cos y\): \(\frac{3}{4 \cos x \cos y} = 3\) \(\cos x \cos y = \frac{1}{4}\)
5. Теперь имеем систему: \(\left\{\begin{matrix} \sin x \sin y = \frac{3}{4}, \\ \cos x \cos y = \frac{1}{4}. \end{matrix}\right.\)
6. Используем формулу для произведения синусов и косинусов: \(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y\) \(\cos(x - y) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\)
7. Так как \(\cos(x - y) = 1\), то \(x - y = 2k\pi\), где \(k\) — целое число.
8. Используем формулу для произведения синусов и косинусов: \(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\) \(\cos(x + y) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}\)
9. Так как \(\cos(x + y) = -\frac{1}{2}\), то \(x + y = \frac{2\pi}{3} + 2l\pi\) или \(x + y = -\frac{2\pi}{3} + 2l\pi\), где \(l\) — целое число.
10. Решим систему линейных уравнений: \(\left\{\begin{matrix} x - y = 2k\pi, \\ x + y = \frac{2\pi}{3} + 2l\pi. \end{matrix}\right.\)
11. Сложим и вычтем уравнения: \(2x = \frac{2\pi}{3} + 2l\pi + 2k\pi\) \(x = \frac{\pi}{3} + (k + l)\pi\)
12. Подставим \(x\) во второе уравнение: \(\left(\frac{\pi}{3} + (k + l)\pi\right) + y = \frac{2\pi}{3} + 2l\pi\) \(y = \frac{\pi}{3} + (l - k)\pi\)
13. Таким образом, решение системы: \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} + (k + l)\pi, \\ y = \frac{\pi}{3} + (l - k)\pi, \end{matrix}\right.\) где \(k\) и \(l\) — целые числа.

Ответ: \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} + (k + l)\pi, \\ y = \frac{\pi}{3} + (l - k)\pi, \end{matrix}\right.\)

Ответ: NaN

Решение №21498: Для решения системы уравнений: \[ \left\{\begin{matrix} \sin x + \sin y = \frac{3}{2}, \\ \cos x + \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{matrix}\right. \] Мы будем использовать тригонометрические тождества и метод суммы углов. 1. **Возведение уравнений в квадрат:** \[ (\sin x + \sin y)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \] \[ (\cos x + \cos y)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \] Это даёт: \[ \sin^2 x + 2 \sin x \sin y + \sin^2 y = \frac{9}{4} \] \[ \cos^2 x + 2 \cos x \cos y + \cos^2 y = \frac{3}{4} \] 2. **Сложение уравнений:** \[ \sin^2 x + \sin^2 y + 2 \sin x \sin y + \cos^2 x + \cos^2 y + 2 \cos x \cos y = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} \] Используя основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) и \(\sin^2 y + \cos^2 y = 1\): \[ 1 + 1 + 2 (\sin x \sin y + \cos x \cos y) = 3 \] \[ 2 + 2 (\sin x \sin y + \cos x \cos y) = 3 \] \[ 2 (\sin x \sin y + \cos x \cos y) = 1 \] \[ \sin x \sin y + \cos x \cos y = \frac{1}{2} \] 3. **Использование тождества для косинуса разности:** \[ \cos (x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{1}{2} \] Это даёт: \[ x - y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] 4. **Решение системы:** Рассмотрим два случая: **Случай 1:** \(x - y = \frac{\pi}{3} + 2\pi k\) Подставим \(y = x - \frac{\pi}{3} - 2\pi k\) в исходные уравнения: \[ \sin x + \sin (x - \frac{\pi}{3} - 2\pi k) = \frac{3}{2} \] Используем формулу для синуса разности: \[ \sin (x - \frac{\pi}{3} - 2\pi k) = \sin x \cos \left(\frac{\pi}{3} + 2\pi k\right) - \cos x \sin \left(\frac{\pi}{3} + 2\pi k\right) \] \[ \sin (x - \frac{\pi}{3} - 2\pi k) = \sin x \cdot \frac{1}{2} - \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Подставляем обратно: \[ \sin x + \sin x \cdot \frac{1}{2} - \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \] \[ \frac{3}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{3}{2} \] \[ 3 \sin x - \sqrt{3} \cos x = 3 \] Решаем систему: \[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos x = \frac{1}{2} \] \[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \] \[ y = x - \frac{\pi}{3} - 2\pi k = 2\pi (m - k), \quad m, k \in \mathbb{Z} \] **Случай 2:** \(x - y = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\) Подставим \(y = x + \frac{\pi}{3} - 2\pi k\) в исходные уравнения: \[ \sin x + \sin (x + \frac{\pi}{3} - 2\pi k) = \frac{3}{2} \] Используем формулу для синуса суммы: \[ \sin (x + \frac{\pi}{3} - 2\pi k) = \sin x \cos \left(\frac{\pi}{3} - 2\pi k\right) + \cos x \sin \left(\frac{\pi}{3} - 2\pi k\right) \] \[ \sin (x + \frac{\pi}{3} - 2\pi k) = \sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Подставляем обратно: \[ \sin x + \sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \] \[ \frac{3}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{3}{2} \] \[ 3 \sin x + \sqrt{3} \cos x = 3 \] Решаем систему: \[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos x = \frac{1}{2} \] \[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \] \[ y = x + \frac{\pi}{3} - 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi (m - k), \quad m, k \in \mathbb{Z} \] Таким образом, решения системы уравнений: \[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m, \quad y = 2\pi (m - k), \quad m, k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m, \quad y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi (m - k), \quad m, k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ \left\{\begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m, \\ y = 2\pi (m - k), \end{matrix}\right. \] или \[ \left\{\begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m, \\ y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi (m - k), \end{matrix}\right. \] где \(m, k \in \mathbb{Z}\).

Ответ: NaN

Решение №21499: Конечно, давайте решим систему уравнений пошагово:

1. Исходная система уравнений: \(\left\{\begin{matrix} \sin x \cos y = 0.36, \\ \sin x \sin y = 0.36. \end{matrix}\right.\)
2. Разделим первое уравнение на второе: \(\frac{\sin x \cos y}{\sin x \sin y} = \frac{0.36}{0.36}\)
3. Упрощаем выражение: \(\frac{\cos y}{\sin y} = 1\)
4. Это означает, что: \(\cot y = 1\)
5. Так как \(\cot y = \frac{1}{\tan y}\), получаем: \(\tan y = 1\)
6. Отсюда находим: \(y = \frac{\pi}{4} + \pi k\), где \(k\) — целое число.
7. Теперь подставим \(y\) во второе уравнение системы: \(\sin x \sin \left(\frac{\pi}{4} + \pi k\right) = 0.36\)
8. Поскольку \(\sin \left(\frac{\pi}{4} + \pi k\right) = (-1)^k \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем: \(\sin x \cdot (-1)^k \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0.36\)
9. Упрощаем: \(\sin x = 0.36 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot (-1)^k\)
10. Так как \(\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\), получаем: \(\sin x = 0.36 \cdot \sqrt{2} \cdot (-1)^k\)
11. Теперь найдем \(x\): \(x = \arcsin \left(0.36 \cdot \sqrt{2} \cdot (-1)^k\right) + 2\pi n\), где \(n\) — целое число.

Ответ: \(x = \arcsin \left(0.36 \cdot \sqrt{2} \cdot (-1)^k\right) + 2\pi n\), \(y = \frac{\pi}{4} + \pi k\), где \(k\) и \(n\) — целые числа.

Ответ: NaN

Решение №21500: Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} \sin x - 3 \cos y = 2, \\ 3 \sin x + \cos y = 1. \end{matrix} \right. \] 1. **Умножим второе уравнение на 3:** \[ 3(3 \sin x + \cos y) = 3(1) \] \[ 9 \sin x + 3 \cos y = 3 \] 2. **Прибавим полученное уравнение к первому уравнению:** \[ (\sin x - 3 \cos y) + (9 \sin x + 3 \cos y) = 2 + 3 \] \[ \sin x + 9 \sin x = 5 \] \[ 10 \sin x = 5 \] \[ \sin x = \frac{1}{2} \] 3. **Подставим \(\sin x = \frac{1}{2}\) во второе уравнение:** \[ 3 \left(\frac{1}{2}\right) + \cos y = 1 \] \[ \frac{3}{2} + \cos y = 1 \] \[ \cos y = 1 - \frac{3}{2} \] \[ \cos y = -\frac{1}{2} \] 4. **Решим уравнения для \(x\) и \(y\):** \[ \sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ \cos y = -\frac{1}{2} \implies y = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi \quad \text{или} \quad y = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] 5. **Запишем решения в виде таблицы:** \[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline \frac{\pi}{6} + 2k\pi & \frac{2\pi}{3} + 2n\pi \\ \hline \frac{\pi}{6} + 2k\pi & \frac{4\pi}{3} + 2n\pi \\ \hline \frac{5\pi}{6} + 2k\pi & \frac{2\pi}{3} + 2n\pi \\ \hline \frac{5\pi}{6} + 2k\pi & \frac{4\pi}{3} + 2n\pi \\ \hline \end{array} \] где \(k\) и \(n\) — целые числа.

Ответ:

\(x_1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, y_1 = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi\)

\(x_2 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, y_2 = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi\)

\(x_3 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, y_3 = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi\)

\(x_4 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, y_4 = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi\)

где \(k\) и \(n\) — целые числа.

Ответ: NaN

Решение №21501: Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} \sin x + 4 \cos y = 3, \\ 5 \sin x - 2 \cos y = 4. \end{matrix} \right. \] Выполним следующие шаги:

1. Обозначим \(\sin x\) как \(a\) и \(\cos y\) как \(b\). Тогда система примет вид: \[ \left\{ \begin{matrix} a + 4b = 3, \\ 5a - 2b = 4. \end{matrix} \right. \]
2. Решим систему линейных уравнений методом Гаусса или методом подстановки. Для начала выразим \(a\) из первого уравнения: \[ a = 3 - 4b. \]
3. Подставим выражение для \(a\) во второе уравнение: \[ 5(3 - 4b) - 2b = 4. \]
4. Раскроем скобки и упростим: \[ 15 - 20b - 2b = 4 \implies 15 - 22b = 4. \]
5. Решим уравнение относительно \(b\): \[ 15 - 4 = 22b \implies 11 = 22b \implies b = \frac{11}{22} = \frac{1}{2}. \]
6. Подставим \(b\) обратно в выражение для \(a\): \[ a = 3 - 4 \cdot \frac{1}{2} = 3 - 2 = 1. \]
7. Теперь у нас есть \(\sin x = a = 1\) и \(\cos y = b = \frac{1}{2}\). Найдём углы \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют этим условиям: \[ \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]
8. Найдём углы \(y\), которые удовлетворяют \(\cos y = \frac{1}{2}\): \[ \cos y = \frac{1}{2} \implies y = \pm \frac{\pi}{3} + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}. \]

Ответ: \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad y = \pm \frac{\pi}{3} + 2m\pi, \quad k, m \in \mathbb{Z}\).

Ответ: NaN

Решение №21502: Решим систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} \sin x + \cos y = 1, \\ \sin x - \cos y = 0. \end{matrix}\right.\)

1. Сложим оба уравнения: \[ (\sin x + \cos y) + (\sin x - \cos y) = 1 + 0 \implies 2 \sin x = 1 \implies \sin x = \frac{1}{2} \]
2. Вычтем второе уравнение из первого: \[ (\sin x + \cos y) - (\sin x - \cos y) = 1 - 0 \implies 2 \cos y = 1 \implies \cos y = \frac{1}{2} \]
3. Решим уравнение \(\sin x = \frac{1}{2}\): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
4. Решим уравнение \(\cos y = \frac{1}{2}\): \[ y = \frac{\pi}{3} + 2m\pi \quad \text{или} \quad y = -\frac{\pi}{3} + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ \left\{ \begin{matrix} x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}, \\ y = \frac{\pi}{3} + 2m\pi \quad \text{или} \quad y = -\frac{\pi}{3} + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}. \end{matrix} \right. \]

Ответ: NaN

Решение №21503: Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} \sin x - \sin y = \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \cos 2x + \cos 2y = 1. \end{matrix} \right. \] Следуйте этим шагам:

1. Используем формулу для разности синусов: \(\sin x - \sin y = 2 \cos \left(\frac{x + y}{2}\right) \sin \left(\frac{x - y}{2}\right)\). Подставляем в первое уравнение: \[ 2 \cos \left(\frac{x + y}{2}\right) \sin \left(\frac{x - y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
2. Используем формулу суммы косинусов для двойных углов: \(\cos 2x + \cos 2y = 2 \cos (x + y)\). Подставляем во второе уравнение: \[ 2 \cos (x + y) = 1 \implies \cos (x + y) = \frac{1}{2} \]
3. Решаем \(\cos (x + y) = \frac{1}{2}\): \[ x + y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
4. Подставляем \(x + y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k\) в первое уравнение: \[ 2 \cos \left(\frac{\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k}{2}\right) \sin \left(\frac{x - y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ 2 \cos \left(\pm \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{x - y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \left(\frac{x - y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \sqrt{3} \sin \left(\frac{x - y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \sin \left(\frac{x - y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \]
5. Решаем \(\sin \left(\frac{x - y}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{6}\): \[ \frac{x - y}{2} = \arcsin \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \] \[ x - y = 2 \arcsin \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) + 4\pi m \]
6. Теперь у нас есть система: \[ \left\{ \begin{matrix} x + y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \\ x - y = 2 \arcsin \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) + 4\pi m. \end{matrix} \right. \]
7. Решаем эту систему: \[ x = \frac{(x + y) + (x - y)}{2} = \frac{\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k + 2 \arcsin \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) + 4\pi m}{2} \] \[ x = \frac{\pm \frac{\pi}{3} + 2 \arcsin \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)}{2} + \pi(k + 2m) \] \[ y = \frac{(x + y) - (x - y)}{2} = \frac{\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k - 2 \arcsin \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) - 4\pi m}{2} \] \[ y = \frac{\pm \frac{\pi}{3} - 2 \arcsin \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)}{2} + \pi(k - 2m) \]

Ответ: \[ x = \frac{\pm \frac{\pi}{3} + 2 \arcsin \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)}{2} + \pi(k + 2m), \quad y = \frac{\pm \frac{\pi}{3} - 2 \arcsin \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)}{2} + \pi(k - 2m), \quad k, m \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21504: Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} 3x + 4\sin y = -11, \\ -2x + 5\sin y = \frac{7}{2}. \end{matrix} \right. \] следуем по шагам:

1. Умножим второе уравнение на \(\frac{3}{2}\), чтобы коэффициенты при \(x\) в обоих уравнениях стали одинаковыми: \[ \left\{ \begin{matrix} 3x + 4\sin y = -11, \\ -3x + \frac{15}{2}\sin y = \frac{21}{4}. \end{matrix} \right. \]
2. Сложим оба уравнения, чтобы исключить \(x\): \[ (3x + 4\sin y) + (-3x + \frac{15}{2}\sin y) = -11 + \frac{21}{4} \] \[ 4\sin y + \frac{15}{2}\sin y = -11 + \frac{21}{4} \] \[ 4\sin y + \frac{15}{2}\sin y = -11 + 5.25 \] \[ 4\sin y + \frac{15}{2}\sin y = -5.75 \]
3. Приведем подобные члены: \[ \left(4 + \frac{15}{2}\right)\sin y = -5.75 \] \[ \left(\frac{8}{2} + \frac{15}{2}\right)\sin y = -5.75 \] \[ \frac{23}{2}\sin y = -5.75 \] \[ 23\sin y = -11.5 \] \[ \sin y = -\frac{11.5}{23} \] \[ \sin y = -\frac{1}{2} \]
4. Теперь подставим \(\sin y = -\frac{1}{2}\) в первое уравнение, чтобы найти \(x\): \[ 3x + 4\left(-\frac{1}{2}\right) = -11 \] \[ 3x - 2 = -11 \] \[ 3x = -9 \] \[ x = -3 \]
5. Таким образом, решение системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} x = -3, \\ \sin y = -\frac{1}{2}. \end{matrix} \right. \]

Ответ: \(x = -3\), \(\sin y = -\frac{1}{2}\)

Ответ: NaN

Решение №21505: Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} -\frac{3}{2}x + 2\cos y = -\frac{11}{2}, \\ 4x + 10\cos y = 7. \end{matrix} \right. \] следуем следующим шагам:

1. Умножим первое уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей: \[ -3x + 4\cos y = -11. \]
2. Умножим второе уравнение на 1, чтобы сохранить его в неизменном виде: \[ 4x + 10\cos y = 7. \]
3. Теперь система уравнений выглядит так: \[ \left\{ \begin{matrix} -3x + 4\cos y = -11, \\ 4x + 10\cos y = 7. \end{matrix} \right. \]
4. Умножим первое уравнение на 5 и второе уравнение на 2, чтобы сделать коэффициенты при \(\cos y\) одинаковыми: \[ \left\{ \begin{matrix} -15x + 20\cos y = -55, \\ 8x + 20\cos y = 14. \end{matrix} \right. \]
5. Вычтем второе уравнение из первого, чтобы устранить \(\cos y\): \[ (-15x + 20\cos y) - (8x + 20\cos y) = -55 - 14, \] что упрощается до: \[ -23x = -69. \]
6. Решим это уравнение для \(x\): \[ x = \frac{-69}{-23} = 3. \]
7. Подставим \(x = 3\) во второе исходное уравнение: \[ 4(3) + 10\cos y = 7, \] что упрощается до: \[ 12 + 10\cos y = 7. \]
8. Решим это уравнение для \(\cos y\): \[ 10\cos y = 7 - 12, \] \[ 10\cos y = -5, \] \[ \cos y = -\frac{1}{2}. \]
9. Найдём \(y\), зная, что \(\cos y = -\frac{1}{2}\): \[ y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. \]

Ответ: \(x = 3\), \(y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\).

Ответ: NaN

Решение №21506: Конечно, давайте решим систему уравнений пошагово: ```html

1. Рассмотрим первое уравнение: \(\sin(2x + y) = 0\). Это уравнение будет верно, если \(2x + y = k\pi\), где \(k\) — целое число.
2. Рассмотрим второе уравнение: \(\cos(x + y) = 1\). Это уравнение будет верно, если \(x + y = 2m\pi\), где \(m\) — целое число.
3. Теперь у нас есть система линейных уравнений: \[\left\{\begin{matrix} 2x + y = k\pi \\ x + y = 2m\pi \end{matrix}\right.\]
4. Вычтем второе уравнение из первого: \[(2x + y) - (x + y) = k\pi - 2m\pi\] \[x = (k - 2m)\pi\]
5. Подставим \(x = (k - 2m)\pi\) во второе уравнение: \[((k - 2m)\pi + y) = 2m\pi\] \[y = 2m\pi - (k - 2m)\pi\] \[y = (4m - k)\pi\]
6. Теперь у нас есть решения: \[\left\{\begin{matrix} x = (k - 2m)\pi \\ y = (4m - k)\pi \end{matrix}\right.\]
7. Учитываем ограничения: \(-\pi \leqslant x \leqslant \pi\) и \(-2\pi \leqslant y \leqslant \pi\). Это означает, что \(k\) и \(m\) должны быть такими, чтобы: \[-\pi \leqslant (k - 2m)\pi \leqslant \pi\] \[-2\pi \leqslant (4m - k)\pi \leqslant \pi\]
8. Решим неравенства: \[-1 \leqslant k - 2m \leqslant 1\] \[-2 \leqslant 4m - k \leqslant 1\]
9. Рассмотрим возможные значения \(k\) и \(m\): \[k - 2m = -1, 0, 1\] \[4m - k = -2, -1, 0, 1\]
10. Проверим возможные комбинации:
    • Если \(k - 2m = 0\), то \(k = 2m\). Тогда \(4m - k = 4m - 2m = 2m\). Для \(2m\) в пределах \([-2, 1]\), \(m\) может быть \(0\). Тогда \(k = 0\), \(x = 0\), \(y = 0\).
    • Если \(k - 2m = 1\), то \(k = 2m + 1\). Тогда \(4m - k = 4m - (2m + 1) = 2m - 1\). Для \(2m - 1\) в пределах \([-2, 1]\), \(m\) может быть \(0\). Тогда \(k = 1\), \(x = \pi\), \(y = -\pi\).
    • Если \(k - 2m = -1\), то \(k = 2m - 1\). Тогда \(4m - k = 4m - (2m - 1) = 2m + 1\). Для \(2m + 1\) в пределах \([-2, 1]\), \(m\) может быть \(-1\). Тогда \(k = -3\), \(x = -\pi\), \(y = \pi\).
11. Итак, решения системы уравнений: \[\left\{\begin{matrix} x = 0, y = 0 \\ x = \pi, y = -\pi \\ x = -\pi, y = \pi \end{matrix}\right.\]

Ответ: \(\left\{\begin{matrix} x = 0, y = 0 \\ x = \pi, y = -\pi \\ x = -\pi, y = \pi \end{matrix}\right.\)

Ответ: NaN

Решение №21507:

1. Рассмотрим первое уравнение системы: \(\sin(2x - y) = 0\).
2. Известно, что \(\sin \theta = 0\) при \(\theta = k\pi\), где \(k\) — целое число. Следовательно, \(2x - y = k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
3. Рассмотрим второе уравнение системы: \(\cos(y - x) = 1\).
4. Известно, что \(\cos \theta = 1\) при \(\theta = 2m\pi\), где \(m\) — целое число. Следовательно, \(y - x = 2m\pi\), где \(m \in \mathbb{Z}\).
5. Теперь у нас есть система уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} 2x - y = k\pi \\ y - x = 2m\pi \end{matrix} \right. \]
6. Решим эту систему. Из второго уравнения \(y = x + 2m\pi\).
7. Подставим \(y = x + 2m\pi\) в первое уравнение: \[ 2x - (x + 2m\pi) = k\pi \] \[ 2x - x - 2m\pi = k\pi \] \[ x - 2m\pi = k\pi \] \[ x = (k + 2m)\pi \]
8. Подставим \(x = (k + 2m)\pi\) обратно в \(y = x + 2m\pi\): \[ y = (k + 2m)\pi + 2m\pi \] \[ y = (k + 4m)\pi \]
9. Теперь у нас есть решение системы: \[ \left\{ \begin{matrix} x = (k + 2m)\pi \\ y = (k + 4m)\pi \end{matrix} \right. \]
10. Учитываем ограничения \(\pi \leqslant x \leqslant 2\pi\) и \(-\pi \leqslant y \leqslant \pi\).
11. Для \(x = (k + 2m)\pi\): \[ \pi \leqslant (k + 2m)\pi \leqslant 2\pi \] \[ 1 \leqslant k + 2m \leqslant 2 \]
12. Для \(y = (k + 4m)\pi\): \[ -\pi \leqslant (k + 4m)\pi \leqslant \pi \] \[ -1 \leqslant k + 4m \leqslant 1 \]
13. Решим систему неравенств: \[ \left\{ \begin{matrix} 1 \leqslant k + 2m \leqslant 2 \\ -1 \leqslant k + 4m \leqslant 1 \end{matrix} \right. \]
14. Рассмотрим возможные значения \(k\) и \(m\):
    • Если \(k = 0\), то \(2m = 1\) или \(2m = 2\), что невозможно, так как \(m\) должно быть целым.
    • Если \(k = 1\), то \(2m = 0\) или \(2m = 1\), что также невозможно.
    • Если \(k = -1\), то \(2m = 2\) или \(2m = 3\), что также невозможно.
15. Таким образом, нет целых значений \(k\) и \(m\), которые удовлетворяют системе неравенств.

Ответ: Решений нет.

Ответ: NaN

Решение №21508:

1. Рассмотрим первое уравнение системы: \[ x - y = \frac{\pi}{6} \] Отсюда: \[ y = x - \frac{\pi}{6} \]
2. Подставим выражение для \( y \) во второе уравнение: \[ \frac{\sin x}{\cos y} = 2 \] Подставим \( y = x - \frac{\pi}{6} \): \[ \frac{\sin x}{\cos \left( x - \frac{\pi}{6} \right)} = 2 \]
3. Используем формулу для косинуса разности углов: \[ \cos \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \cos x \cos \frac{\pi}{6} + \sin x \sin \frac{\pi}{6} \] Подставим значения \(\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\): \[ \cos \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin x \cdot \frac{1}{2} \]
4. Подставим это выражение обратно во второе уравнение: \[ \frac{\sin x}{\cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin x \cdot \frac{1}{2}} = 2 \] Умножим числитель и знаменатель на 2: \[ \frac{2 \sin x}{\sqrt{3} \cos x + \sin x} = 2 \]
5. Упростим уравнение: \[ 2 \sin x = 2 (\sqrt{3} \cos x + \sin x) \] Раскроем скобки: \[ 2 \sin x = 2 \sqrt{3} \cos x + 2 \sin x \] Вычтем \(2 \sin x\) из обеих частей: \[ 0 = 2 \sqrt{3} \cos x \] Отсюда: \[ \cos x = 0 \]
6. Решим уравнение \(\cos x = 0\): \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
7. Подставим \(x\) обратно в первое уравнение системы: \[ y = x - \frac{\pi}{6} \] Подставим \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\): \[ y = \left( \frac{\pi}{2} + \pi k \right) - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + \pi k \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad y = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: NaN

Решение №21509: Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} x + y = \frac{\pi}{2}, \\ \frac{\tan x}{\tan y} = 3. \end{matrix} \right. \] следуем следующим шагам:

1. Из первого уравнения выразим \( y \): \[ y = \frac{\pi}{2} - x \]
2. Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ \frac{\tan x}{\tan \left(\frac{\pi}{2} - x\right)} = 3 \]
3. Используем тождество \(\tan \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cot x\): \[ \frac{\tan x}{\cot x} = 3 \]
4. Подставим \(\cot x = \frac{1}{\tan x}\): \[ \frac{\tan x}{\frac{1}{\tan x}} = 3 \implies \tan^2 x = 3 \]
5. Решим уравнение \(\tan^2 x = 3\): \[ \tan x = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad \tan x = -\sqrt{3} \]
6. Найдем \( x \) для \(\tan x = \sqrt{3}\): \[ x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
7. Найдем \( y \) для \(\tan x = \sqrt{3}\): \[ y = \frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{3} + \pi k\right) = \frac{\pi}{6} - \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
8. Найдем \( x \) для \(\tan x = -\sqrt{3}\): \[ x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
9. Найдем \( y \) для \(\tan x = -\sqrt{3}\): \[ y = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{3} + \pi k\right) = \frac{5\pi}{6} - \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ:

Ответ: NaN

Решение №21510: Для решения системы уравнений: \[ \left\{\begin{matrix} x + y = \frac{5\pi}{6}, \\ \frac{\operatorname{ctg} x}{\operatorname{ctg} y} = -\frac{1}{3}. \end{matrix}\right. \] выполним следующие шаги:

1. Из первого уравнения выразим \( y \): \[ y = \frac{5\pi}{6} - x \]
2. Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ \frac{\operatorname{ctg} x}{\operatorname{ctg} \left( \frac{5\pi}{6} - x \right)} = -\frac{1}{3} \]
3. Используем формулу для котангенса разности углов: \[ \operatorname{ctg} \left( \frac{5\pi}{6} - x \right) = \frac{\cos \left( \frac{5\pi}{6} - x \right)}{\sin \left( \frac{5\pi}{6} - x \right)} \]
4. Подставим значения синуса и косинуса: \[ \cos \left( \frac{5\pi}{6} - x \right) = \cos \frac{5\pi}{6} \cos x + \sin \frac{5\pi}{6} \sin x \] \[ \sin \left( \frac{5\pi}{6} - x \right) = \sin \frac{5\pi}{6} \cos x - \cos \frac{5\pi}{6} \sin x \] \[ \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2} \] \[ \cos \left( \frac{5\pi}{6} - x \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x \] \[ \sin \left( \frac{5\pi}{6} - x \right) = \frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \]
5. Теперь выразим котангенс: \[ \operatorname{ctg} \left( \frac{5\pi}{6} - x \right) = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x}{\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x} \]
6. Подставим это выражение во второе уравнение: \[ \frac{\operatorname{ctg} x}{\operatorname{ctg} \left( \frac{5\pi}{6} - x \right)} = \frac{\operatorname{ctg} x}{\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x}{\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x}} = -\frac{1}{3} \]
7. Упростим выражение: \[ \frac{\operatorname{ctg} x \left( \frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \right)}{-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x} = -\frac{1}{3} \] \[ \frac{\operatorname{ctg} x \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{tg} x \right)}{-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \operatorname{tg} x} = -\frac{1}{3} \]
8. Решим это уравнение относительно \(\operatorname{tg} x\): \[ \frac{\operatorname{ctg} x \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{tg} x \right)}{-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \operatorname{tg} x} = -\frac{1}{3} \] \[ \frac{\left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{tg} x \right)}{\operatorname{tg} x \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \operatorname{tg} x \right)} = -\frac{1}{3} \] \[ \frac{1 + \sqrt{3} \operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} x \left( -\sqrt{3} + \operatorname{tg} x \right)} = -\frac{1}{3} \] \[ 3(1 + \sqrt{3} \operatorname{tg} x) = -\operatorname{tg} x \left( -\sqrt{3} + \operatorname{tg} x \right) \] \[ 3 + 3\sqrt{3} \operatorname{tg} x = \sqrt{3} \operatorname{tg} x - \operatorname{tg}^2 x \] \[ \operatorname{tg}^2 x - 2\sqrt{3} \operatorname{tg} x - 3 = 0 \]
9. Решим квадратное уравнение: \[ \operatorname{tg} x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 4 \cdot 3}}{2} \] \[ \operatorname{tg} x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 12}}{2} \] \[ \operatorname{tg} x = \frac{2\sqrt{3} \pm 2\sqrt{6}}{2} \] \[ \operatorname{tg} x = \sqrt{3} \pm \sqrt{6} \]
10. Найдем \( x \) и \( y \): \[ x = \operatorname{arctg} (\sqrt{3} + \sqrt{6}) \quad \text{или} \quad x = \operatorname{arctg} (\sqrt{3} - \sqrt{6}) \] \[ y = \frac{5\pi}{6} - x \]

Ответ: \( x = \operatorname{arctg} (\sqrt{3} + \sqrt{6}), y = \frac{5\pi}{6} - \operatorname{arctg} (\sqrt{3} + \sqrt{6}) \) или \( x = \operatorname{arctg} (\sqrt{3} - \sqrt{6}), y = \frac{5\pi}{6} - \operatorname{arctg} (\sqrt{3} - \sqrt{6}) \)

Ответ: NaN

Решение №21511: Решим систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} x + y = \frac{\pi}{2}, \\ \frac{\sin x}{\sin y} = \sqrt{3}. \end{matrix}\right.\)

1. Из первого уравнения выразим \( y \): \[ y = \frac{\pi}{2} - x \]
2. Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ \frac{\sin x}{\sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)} = \sqrt{3} \]
3. Используем тождество \(\sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x\): \[ \frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3} \]
4. Получаем: \[ \tan x = \sqrt{3} \]
5. Решим уравнение \(\tan x = \sqrt{3}\): \[ x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
6. Подставим \( x = \frac{\pi}{3} + k\pi \) в первое уравнение: \[ y = \frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{3} + k\pi\right) = \frac{\pi}{6} - k\pi \]
7. Таким образом, решения системы: \[ \left( x, y \right) = \left( \frac{\pi}{3} + k\pi, \frac{\pi}{6} - k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(\left( x, y \right) = \left( \frac{\pi}{3} + k\pi, \frac{\pi}{6} - k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21512: Решим систему уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} x + y = \frac{13\pi}{2}, \\ \frac{\cos x}{\cos y} = -\frac{1}{\sqrt{2}}. \end{matrix} \right. \]

1. Из первого уравнения выразим \( y \): \[ y = \frac{13\pi}{2} - x \]
2. Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ \frac{\cos x}{\cos \left( \frac{13\pi}{2} - x \right)} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]
3. Используем тригонометрическое тождество для косинуса разности углов: \[ \cos \left( \frac{13\pi}{2} - x \right) = \cos \left( \frac{13\pi}{2} \right) \cos x + \sin \left( \frac{13\pi}{2} \right) \sin x \] Поскольку \(\cos \left( \frac{13\pi}{2} \right) = 0\) и \(\sin \left( \frac{13\pi}{2} \right) = -1\), получаем: \[ \cos \left( \frac{13\pi}{2} - x \right) = -\sin x \]
4. Подставим это в уравнение: \[ \frac{\cos x}{-\sin x} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \] Упростим: \[ \cot x = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
5. Используем тождество для котангенса: \[ \cot x = \frac{1}{\tan x} \] Откуда: \[ \tan x = \sqrt{2} \]
6. Решим уравнение \(\tan x = \sqrt{2}\): \[ x = \arctan \sqrt{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] Поскольку \(\arctan \sqrt{2}\) это угол, чей тангенс равен \(\sqrt{2}\), можно использовать известное значение \(\arctan \sqrt{2} = \frac{\pi}{4}\): \[ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
7. Подставим \( x \) обратно в уравнение для \( y \): \[ y = \frac{13\pi}{2} - \left( \frac{\pi}{4} + \pi k \right) = \frac{13\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - \pi k = \frac{26\pi}{4} - \frac{\pi}{4} - \pi k = \frac{25\pi}{4} - \pi k \]

Ответ: \( \left\{ \begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \\ y = \frac{25\pi}{4} - \pi k, \end{matrix} \right. \) где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: NaN

Решение №21513: Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} x - y = -\frac{\pi}{24}, \\ \frac{\cos x}{\cos y} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}. \end{matrix} \right. \] Выполним следующие шаги:

1. Выразим \( x \) через \( y \) из первого уравнения: \[ x = y - \frac{\pi}{24} \]
2. Подставим \( x \) из первого уравнения во второе уравнение: \[ \frac{\cos \left( y - \frac{\pi}{24} \right)}{\cos y} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}} \]
3. Используем формулу косинуса разности углов: \[ \cos \left( y - \frac{\pi}{24} \right) = \cos y \cos \frac{\pi}{24} + \sin y \sin \frac{\pi}{24} \] Подставим это в уравнение: \[ \frac{\cos y \cos \frac{\pi}{24} + \sin y \sin \frac{\pi}{24}}{\cos y} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}} \]
4. Упростим выражение: \[ \cos \frac{\pi}{24} + \tan y \sin \frac{\pi}{24} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}} \]
5. Решим уравнение относительно \( \tan y \): \[ \tan y = \frac{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}} - \cos \frac{\pi}{24}}{\sin \frac{\pi}{24}} \]
6. Найдем значения \( \cos \frac{\pi}{24} \) и \( \sin \frac{\pi}{24} \). Используем формулы для косинуса и синуса суммы углов: \[ \cos \frac{\pi}{24} = \cos \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{8} \right) = \cos \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{8} \] \[ \sin \frac{\pi}{24} = \sin \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{8} \right) = \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{8} - \cos \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{8} \] Значения \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \), \( \cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \), \( \sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \).
7. Подставим эти значения и упростим: \[ \cos \frac{\pi}{24} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \] \[ \sin \frac{\pi}{24} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \]
8. Решим уравнение для \( y \): \[ \tan y = \frac{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}} - \cos \frac{\pi}{24}}{\sin \frac{\pi}{24}} \]
9. Найдем \( y \) и подставим его в первое уравнение для нахождения \( x \).

Ответ: NaN