Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} sinx+siny=\frac{3}{2},\\ cosx+cosy=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{matrix}\right.\)

Ответ

NaN

Решение № 21498:

Для решения системы уравнений: \[ \left\{\begin{matrix} \sin x + \sin y = \frac{3}{2}, \\ \cos x + \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{matrix}\right. \] Мы будем использовать тригонометрические тождества и метод суммы углов. 1. **Возведение уравнений в квадрат:** \[ (\sin x + \sin y)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \] \[ (\cos x + \cos y)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \] Это даёт: \[ \sin^2 x + 2 \sin x \sin y + \sin^2 y = \frac{9}{4} \] \[ \cos^2 x + 2 \cos x \cos y + \cos^2 y = \frac{3}{4} \] 2. **Сложение уравнений:** \[ \sin^2 x + \sin^2 y + 2 \sin x \sin y + \cos^2 x + \cos^2 y + 2 \cos x \cos y = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} \] Используя основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) и \(\sin^2 y + \cos^2 y = 1\): \[ 1 + 1 + 2 (\sin x \sin y + \cos x \cos y) = 3 \] \[ 2 + 2 (\sin x \sin y + \cos x \cos y) = 3 \] \[ 2 (\sin x \sin y + \cos x \cos y) = 1 \] \[ \sin x \sin y + \cos x \cos y = \frac{1}{2} \] 3. **Использование тождества для косинуса разности:** \[ \cos (x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{1}{2} \] Это даёт: \[ x - y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] 4. **Решение системы:** Рассмотрим два случая: **Случай 1:** \(x - y = \frac{\pi}{3} + 2\pi k\) Подставим \(y = x - \frac{\pi}{3} - 2\pi k\) в исходные уравнения: \[ \sin x + \sin (x - \frac{\pi}{3} - 2\pi k) = \frac{3}{2} \] Используем формулу для синуса разности: \[ \sin (x - \frac{\pi}{3} - 2\pi k) = \sin x \cos \left(\frac{\pi}{3} + 2\pi k\right) - \cos x \sin \left(\frac{\pi}{3} + 2\pi k\right) \] \[ \sin (x - \frac{\pi}{3} - 2\pi k) = \sin x \cdot \frac{1}{2} - \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Подставляем обратно: \[ \sin x + \sin x \cdot \frac{1}{2} - \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \] \[ \frac{3}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{3}{2} \] \[ 3 \sin x - \sqrt{3} \cos x = 3 \] Решаем систему: \[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos x = \frac{1}{2} \] \[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \] \[ y = x - \frac{\pi}{3} - 2\pi k = 2\pi (m - k), \quad m, k \in \mathbb{Z} \] **Случай 2:** \(x - y = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\) Подставим \(y = x + \frac{\pi}{3} - 2\pi k\) в исходные уравнения: \[ \sin x + \sin (x + \frac{\pi}{3} - 2\pi k) = \frac{3}{2} \] Используем формулу для синуса суммы: \[ \sin (x + \frac{\pi}{3} - 2\pi k) = \sin x \cos \left(\frac{\pi}{3} - 2\pi k\right) + \cos x \sin \left(\frac{\pi}{3} - 2\pi k\right) \] \[ \sin (x + \frac{\pi}{3} - 2\pi k) = \sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Подставляем обратно: \[ \sin x + \sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \] \[ \frac{3}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{3}{2} \] \[ 3 \sin x + \sqrt{3} \cos x = 3 \] Решаем систему: \[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos x = \frac{1}{2} \] \[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \] \[ y = x + \frac{\pi}{3} - 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi (m - k), \quad m, k \in \mathbb{Z} \] Таким образом, решения системы уравнений: \[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m, \quad y = 2\pi (m - k), \quad m, k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m, \quad y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi (m - k), \quad m, k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ \left\{\begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m, \\ y = 2\pi (m - k), \end{matrix}\right. \] или \[ \left\{\begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m, \\ y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi (m - k), \end{matrix}\right. \] где \(m, k \in \mathbb{Z}\).