Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} x+y=\frac{3\pi }{4},\\ tgy-tgx=2. \end{matrix}\right.\)

Ответ

NaN

Решение № 21491:

Для решения системы уравнений: \[ \left\{\begin{matrix} x + y = \frac{3\pi}{4}, \\ \tan y - \tan x = 2. \end{matrix}\right. \] мы будем следовать следующим шагам:

1. Выразим \( y \) из первого уравнения: \[ y = \frac{3\pi}{4} - x \]
2. Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ \tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) - \tan x = 2 \]
3. Используем формулу для тангенса разности углов: \[ \tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) = \frac{\tan\frac{3\pi}{4} - \tan x}{1 + \tan\frac{3\pi}{4} \tan x} \] Знаем, что \(\tan\frac{3\pi}{4} = -1\), так как \(\tan(\pi - \theta) = -\tan\theta\). Поэтому: \[ \tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) = \frac{-1 - \tan x}{1 - \tan x} \]
4. Подставим это в уравнение: \[ \frac{-1 - \tan x}{1 - \tan x} - \tan x = 2 \] Умножим обе части на \(1 - \tan x\): \[ -1 - \tan x - \tan x (1 - \tan x) = 2(1 - \tan x) \] Раскроем скобки: \[ -1 - \tan x - \tan x + \tan^2 x = 2 - 2\tan x \] Перенесем все члены в одну сторону: \[ \tan^2 x - 4\tan x + 3 = 0 \]
5. Решим квадратное уравнение: \[ \tan^2 x - 4\tan x + 3 = 0 \] Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\) с \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\). Решим его с помощью формулы для нахождения корней: \[ \tan x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставим значения: \[ \tan x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \] Получим два корня: \[ \tan x = 3 \quad \text{или} \quad \tan x = 1 \]
6. Найдем \( x \) и \( y \) для каждого из корней:
   1. Для \(\tan x = 1\): \[ x = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \] Тогда: \[ y = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \]
   2. Для \(\tan x = 3\): \[ x = \arctan(3) \] Тогда: \[ y = \frac{3\pi}{4} - \arctan(3) \]

Ответ: \(\left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right)\) или \(\left( \arctan(3), \frac{3\pi}{4} - \arctan(3) \right)\)