Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix}
sin(2x-y)=0,\\
cos(y-x)=1; \pi \leqslant x\leqslant 2\pi , -\pi \leqslant y\leqslant \pi.
\end{matrix}\right.\)
Ответ
NaN
Решение № 21507:
- Рассмотрим первое уравнение системы: \(\sin(2x - y) = 0\).
- Известно, что \(\sin \theta = 0\) при \(\theta = k\pi\), где \(k\) — целое число. Следовательно, \(2x - y = k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
- Рассмотрим второе уравнение системы: \(\cos(y - x) = 1\).
- Известно, что \(\cos \theta = 1\) при \(\theta = 2m\pi\), где \(m\) — целое число. Следовательно, \(y - x = 2m\pi\), где \(m \in \mathbb{Z}\).
- Теперь у нас есть система уравнений:
\[
\left\{
\begin{matrix}
2x - y = k\pi \\
y - x = 2m\pi
\end{matrix}
\right.
\]
- Решим эту систему. Из второго уравнения \(y = x + 2m\pi\).
- Подставим \(y = x + 2m\pi\) в первое уравнение:
\[
2x - (x + 2m\pi) = k\pi
\]
\[
2x - x - 2m\pi = k\pi
\]
\[
x - 2m\pi = k\pi
\]
\[
x = (k + 2m)\pi
\]
- Подставим \(x = (k + 2m)\pi\) обратно в \(y = x + 2m\pi\):
\[
y = (k + 2m)\pi + 2m\pi
\]
\[
y = (k + 4m)\pi
\]
- Теперь у нас есть решение системы:
\[
\left\{
\begin{matrix}
x = (k + 2m)\pi \\
y = (k + 4m)\pi
\end{matrix}
\right.
\]
- Учитываем ограничения \(\pi \leqslant x \leqslant 2\pi\) и \(-\pi \leqslant y \leqslant \pi\).
- Для \(x = (k + 2m)\pi\):
\[
\pi \leqslant (k + 2m)\pi \leqslant 2\pi
\]
\[
1 \leqslant k + 2m \leqslant 2
\]
- Для \(y = (k + 4m)\pi\):
\[
-\pi \leqslant (k + 4m)\pi \leqslant \pi
\]
\[
-1 \leqslant k + 4m \leqslant 1
\]
- Решим систему неравенств:
\[
\left\{
\begin{matrix}
1 \leqslant k + 2m \leqslant 2 \\
-1 \leqslant k + 4m \leqslant 1
\end{matrix}
\right.
\]
- Рассмотрим возможные значения \(k\) и \(m\):
- Если \(k = 0\), то \(2m = 1\) или \(2m = 2\), что невозможно, так как \(m\) должно быть целым.
- Если \(k = 1\), то \(2m = 0\) или \(2m = 1\), что также невозможно.
- Если \(k = -1\), то \(2m = 2\) или \(2m = 3\), что также невозможно.
- Таким образом, нет целых значений \(k\) и \(m\), которые удовлетворяют системе неравенств.
Ответ: Решений нет.