Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} y-x=3,\\ sin\pi x-\sqrt{3}=sin\pi y. \end{matrix}\right.\)

Ответ

NaN

Решение № 21485:

1. Рассмотрим первое уравнение системы: \[ y - x = 3 \] Из этого уравнения можно выразить \( y \) через \( x \): \[ y = x + 3 \]
2. Подставим \( y = x + 3 \) во второе уравнение системы: \[ \sin \pi x - \sqrt{3} = \sin \pi (x + 3) \]
3. Используем периодичность функции синуса: \(\sin \pi (x + 3) = \sin (\pi x + 3\pi) = -\sin \pi x\). Тогда уравнение принимает вид: \[ \sin \pi x - \sqrt{3} = -\sin \pi x \]
4. Перенесем \(\sin \pi x\) на одну сторону уравнения: \[ 2 \sin \pi x = \sqrt{3} \] \[ \sin \pi x = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
5. Решим уравнение \(\sin \pi x = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Значения угла, при которых синус равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), это \(\frac{\pi}{3}\) и \(\frac{2\pi}{3}\). Поэтому: \[ \pi x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \pi x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
6. Разделим обе части уравнений на \(\pi\): \[ x = \frac{1}{3} + 2k \quad \text{или} \quad x = \frac{2}{3} + 2k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
7. Подставим найденные значения \( x \) в выражение \( y = x + 3 \): \[ y = \left(\frac{1}{3} + 2k\right) + 3 = \frac{10}{3} + 2k \quad \text{или} \quad y = \left(\frac{2}{3} + 2k\right) + 3 = \frac{11}{3} + 2k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = \frac{1}{3} + 2k, \quad y = \frac{10}{3} + 2k \quad \text{или} \quad x = \frac{2}{3} + 2k, \quad y = \frac{11}{3} + 2k, \quad k \in \mathbb{Z} \]