Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} y-x=\frac{5\pi }{2},\\ 3sin^{2}x=10cosy-3. \end{matrix}\right.\)

Ответ

NaN

Решение № 21489:

Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} y - x = \frac{5\pi}{2}, \\ 3\sin^2 x = 10\cos y - 3. \end{matrix} \right. \] Пошаговое решение:

1. Из первого уравнения выразим \( y \) через \( x \): \[ y = x + \frac{5\pi}{2} \]
2. Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ 3\sin^2 x = 10\cos\left(x + \frac{5\pi}{2}\right) - 3 \]
3. Используем тригонометрическое тождество для косинуса: \[ \cos\left(x + \frac{5\pi}{2}\right) = \cos\left(x + 2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \]
4. Используем тождество \(\cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin x\): \[ \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin x \]
5. Подставим это в уравнение: \[ 3\sin^2 x = 10(-\sin x) - 3 \] \[ 3\sin^2 x = -10\sin x - 3 \]
6. Перенесём все члены в одну сторону уравнения: \[ 3\sin^2 x + 10\sin x + 3 = 0 \]
7. Получим квадратное уравнение относительно \(\sin x\): \[ 3u^2 + 10u + 3 = 0, \quad \text{где } u = \sin x \]
8. Решим квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней: \[ u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 3\), \(b = 10\), \(c = 3\): \[ u = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} \] \[ u = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} \] \[ u = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{6} \] \[ u = \frac{-10 \pm 8}{6} \]
9. Найдём корни: \[ u_1 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \] \[ u_2 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \]
10. Так как \(\sin x\) должно быть в диапазоне \([-1, 1]\), то \(\sin x = -3\) невозможно. Остаётся \(\sin x = -\frac{1}{3}\): \[ \sin x = -\frac{1}{3} \]
11. Найдём \(x\), решая уравнение \(\sin x = -\frac{1}{3}\): \[ x = \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
12. Подставим \(x\) в первое уравнение для нахождения \(y\): \[ y = x + \frac{5\pi}{2} \]

Ответ: \[ x = \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ y = x + \frac{5\pi}{2} \]