Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} sin(x+y)=\frac{1}{2},\\ tg(x-y)=1. \end{matrix}\right.\)

Ответ

NaN

Решение № 21496:

Для решения системы уравнений: \[ \left\{\begin{matrix} \sin(x + y) = \frac{1}{2}, \\ \tan(x - y) = 1. \end{matrix}\right. \] следуем пошагово:

1. Рассмотрим первое уравнение: \[ \sin(x + y) = \frac{1}{2} \] Известно, что \(\sin(\theta) = \frac{1}{2}\) при \(\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) или \(\theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число. Следовательно, \[ x + y = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x + y = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \]
2. Рассмотрим второе уравнение: \[ \tan(x - y) = 1 \] Известно, что \(\tan(\theta) = 1\) при \(\theta = \frac{\pi}{4} + m\pi\), где \(m\) — целое число. Следовательно, \[ x - y = \frac{\pi}{4} + m\pi \]
3. Теперь у нас есть две системы уравнений: \[ \left\{\begin{matrix} x + y = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \\ x - y = \frac{\pi}{4} + m\pi, \end{matrix}\right. \quad \text{или} \quad \left\{\begin{matrix} x + y = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \\ x - y = \frac{\pi}{4} + m\pi. \end{matrix}\right. \]
4. Решим первую систему: \[ \left\{\begin{matrix} x + y = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \\ x - y = \frac{\pi}{4} + m\pi. \end{matrix}\right. \] Сложим уравнения: \[ (x + y) + (x - y) = \left(\frac{\pi}{6} + 2k\pi\right) + \left(\frac{\pi}{4} + m\pi\right) \] \[ 2x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi + m\pi \] \[ 2x = \frac{2\pi + 3\pi}{12} + 2k\pi + m\pi = \frac{5\pi}{12} + (2k + m)\pi \] \[ x = \frac{5\pi}{24} + \frac{(2k + m)\pi}{2} \] Теперь выразим \(y\): \[ x + y = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \] \[ y = \frac{\pi}{6} + 2k\pi - x \] \[ y = \frac{\pi}{6} + 2k\pi - \left(\frac{5\pi}{24} + \frac{(2k + m)\pi}{2}\right) \] \[ y = \frac{4\pi}{24} - \frac{5\pi}{24} + 2k\pi - \frac{(2k + m)\pi}{2} \] \[ y = -\frac{\pi}{24} + 2k\pi - \frac{(2k + m)\pi}{2} \] \[ y = -\frac{\pi}{24} + \frac{(4k - 2k - m)\pi}{2} \] \[ y = -\frac{\pi}{24} + \frac{(2k - m)\pi}{2} \]
5. Решим вторую систему: \[ \left\{\begin{matrix} x + y = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \\ x - y = \frac{\pi}{4} + m\pi. \end{matrix}\right. \] Сложим уравнения: \[ (x + y) + (x - y) = \left(\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\right) + \left(\frac{\pi}{4} + m\pi\right) \] \[ 2x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi + m\pi \] \[ 2x = \frac{10\pi + 3\pi}{12} + 2k\pi + m\pi = \frac{13\pi}{12} + (2k + m)\pi \] \[ x = \frac{13\pi}{24} + \frac{(2k + m)\pi}{2} \] Теперь выразим \(y\): \[ x + y = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] \[ y = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi - x \] \[ y = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi - \left(\frac{13\pi}{24} + \frac{(2k + m)\pi}{2}\right) \] \[ y = \frac{20\pi}{24} - \frac{13\pi}{24} + 2k\pi - \frac{(2k + m)\pi}{2} \] \[ y = \frac{7\pi}{24} + 2k\pi - \frac{(2k + m)\pi}{2} \] \[ y = \frac{7\pi}{24} + \frac{(4k - 2k - m)\pi}{2} \] \[ y = \frac{7\pi}{24} + \frac{(2k - m)\pi}{2} \]
6. Таким образом, решения системы уравнений: \[ \left\{\begin{matrix} x = \frac{5\pi}{24} + \frac{(2k + m)\pi}{2}, \\ y = -\frac{\pi}{24} + \frac{(2k - m)\pi}{2}, \end{matrix}\right. \quad \text{или} \quad \left\{\begin{matrix} x = \frac{13\pi}{24} + \frac{(2k + m)\pi}{2}, \\ y = \frac{7\pi}{24} + \frac{(2k - m)\pi}{2}. \end{matrix}\right. \]

Ответ:

\[ \left\{\begin{matrix} x = \frac{5\pi}{24} + \frac{(2k + m)\pi}{2}, \\ y = -\frac{\pi}{24} + \frac{(2k - m)\pi}{2}, \end{matrix}\right. \quad \text{или} \quad \left\{\begin{matrix} x = \frac{13\pi}{24} + \frac{(2k + m)\pi}{2}, \\ y = \frac{7\pi}{24} + \frac{(2k - m)\pi}{2}. \end{matrix}\right. \]