Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} x+y=\frac{\pi }{4},\\ tgx-tgy=2. \end{matrix}\right.\)

Ответ

NaN

Решение № 21490:

Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} x + y = \frac{\pi}{4}, \\ \tan(x) - \tan(y) = 2. \end{matrix} \right. \] Рассмотрим следующие шаги:

1. Из первого уравнения выразим \( y \) через \( x \): \[ y = \frac{\pi}{4} - x \]
2. Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ \tan(x) - \tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 2 \]
3. Используем формулу тангенса разности: \[ \tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \tan(x)}{1 + \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \tan(x)} \] Зная, что \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\), получаем: \[ \tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{1 - \tan(x)}{1 + \tan(x)} \]
4. Подставим это выражение во второе уравнение: \[ \tan(x) - \frac{1 - \tan(x)}{1 + \tan(x)} = 2 \]
5. Пусть \( t = \tan(x) \). Тогда уравнение примет вид: \[ t - \frac{1 - t}{1 + t} = 2 \]
6. Приведем дроб к общему знаменателю и упростим: \[ t - \frac{1 - t}{1 + t} = 2 \implies t(1 + t) - (1 - t) = 2(1 + t) \] \[ t + t^2 - 1 + t = 2 + 2t \] \[ t^2 + 2t - 1 = 2 + 2t \] \[ t^2 - 3 = 0 \]
7. Решим квадратное уравнение: \[ t^2 = 3 \implies t = \pm \sqrt{3} \]
8. Таким образом, \(\tan(x) = \sqrt{3}\) или \(\tan(x) = -\sqrt{3}\). Рассмотрим каждый случай отдельно:
   • Если \(\tan(x) = \sqrt{3}\), то \( x = \frac{\pi}{3} + k\pi \) для некоторого целого \( k \).
   • Если \(\tan(x) = -\sqrt{3}\), то \( x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \) для некоторого целого \( k \).
9. Подставим \( x \) в первое уравнение и найдем \( y \):
   • Для \( x = \frac{\pi}{3} + k\pi \): \[ y = \frac{\pi}{4} - \left(\frac{\pi}{3} + k\pi\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} - k\pi = \frac{\pi}{12} - k\pi \]
   • Для \( x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \): \[ y = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{3} + k\pi\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} - k\pi = \frac{7\pi}{12} - k\pi \]

Таким образом, решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \\ y = \frac{\pi}{12} - k\pi \end{matrix} \right. \] или \[ \left\{ \begin{matrix} x = -\frac{\pi}{3} + k\pi, \\ y = \frac{7\pi}{12} - k\pi \end{matrix} \right. \] где \( k \) — целое число.