Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix}
-\frac{3}{2}x+2cosy=-\frac{11}{2},\\
4x+10cosy=7.
\end{matrix}\right.\)
Ответ
NaN
Решение № 21505:
Для решения системы уравнений:
\[
\left\{
\begin{matrix}
-\frac{3}{2}x + 2\cos y = -\frac{11}{2}, \\
4x + 10\cos y = 7.
\end{matrix}
\right.
\]
следуем следующим шагам:
- Умножим первое уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:
\[
-3x + 4\cos y = -11.
\]
- Умножим второе уравнение на 1, чтобы сохранить его в неизменном виде:
\[
4x + 10\cos y = 7.
\]
- Теперь система уравнений выглядит так:
\[
\left\{
\begin{matrix}
-3x + 4\cos y = -11, \\
4x + 10\cos y = 7.
\end{matrix}
\right.
\]
- Умножим первое уравнение на 5 и второе уравнение на 2, чтобы сделать коэффициенты при \(\cos y\) одинаковыми:
\[
\left\{
\begin{matrix}
-15x + 20\cos y = -55, \\
8x + 20\cos y = 14.
\end{matrix}
\right.
\]
- Вычтем второе уравнение из первого, чтобы устранить \(\cos y\):
\[
(-15x + 20\cos y) - (8x + 20\cos y) = -55 - 14,
\]
что упрощается до:
\[
-23x = -69.
\]
- Решим это уравнение для \(x\):
\[
x = \frac{-69}{-23} = 3.
\]
- Подставим \(x = 3\) во второе исходное уравнение:
\[
4(3) + 10\cos y = 7,
\]
что упрощается до:
\[
12 + 10\cos y = 7.
\]
- Решим это уравнение для \(\cos y\):
\[
10\cos y = 7 - 12,
\]
\[
10\cos y = -5,
\]
\[
\cos y = -\frac{1}{2}.
\]
- Найдём \(y\), зная, что \(\cos y = -\frac{1}{2}\):
\[
y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.
\]
Ответ: \(x = 3\), \(y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\).