Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} y-x=\frac{\pi }{6},\\ 2cosy=\sqrt{3}cosx. \end{matrix}\right.\)

Ответ

NaN

Решение № 21486:

Для решения системы уравнений \(\left\{\begin{matrix} y - x = \frac{\pi}{6}, \\ 2 \cos y = \sqrt{3} \cos x. \end{matrix}\right.\) выполним следующие шаги:

1. Из первого уравнения выразим \(y\) через \(x\): \[ y = x + \frac{\pi}{6} \]
2. Подставим \(y = x + \frac{\pi}{6}\) во второе уравнение: \[ 2 \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cos x \]
3. Используем формулу косинуса суммы углов: \[ \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \cos x \cos \frac{\pi}{6} - \sin x \sin \frac{\pi}{6} \] Подставим известные значения \(\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\): \[ 2 \left(\cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin x \cdot \frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} \cos x \]
4. Упростим выражение: \[ \sqrt{3} \cos x - \sin x = \sqrt{3} \cos x \] \[ -\sin x = 0 \]
5. Решим уравнение \(\sin x = 0\): \[ x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
6. Подставим \(x = k\pi\) в выражение для \(y\): \[ y = k\pi + \frac{\pi}{6} \]
7. Получаем решение системы: \[ \left(x, y\right) = \left(k\pi, k\pi + \frac{\pi}{6}\right), \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(\left(x, y\right) = \left(k\pi, k\pi + \frac{\pi}{6}\right), \quad k \in \mathbb{Z}\)