Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix}
y-x=-\frac{\pi }{3},\\
sinx=2siny.
\end{matrix}\right.\)
Ответ
NaN
Решение № 21487:
Для решения системы уравнений:
\[
\left\{\begin{matrix}
y - x = -\frac{\pi}{3}, \\
\sin x = 2 \sin y.
\end{matrix}\right.
\]
следуем следующим шагам:
- Из первого уравнения выражаем \( y \) через \( x \):
\[
y = x - \frac{\pi}{3}
\]
- Подставляем \( y = x - \frac{\pi}{3} \) во второе уравнение:
\[
\sin x = 2 \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right)
\]
- Используем формулу синуса разности:
\[
\sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) = \sin x \cos \frac{\pi}{3} - \cos x \sin \frac{\pi}{3}
\]
Зная, что \(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\) и \(\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем:
\[
\sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) = \sin x \cdot \frac{1}{2} - \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
- Подставляем это выражение во второе уравнение:
\[
\sin x = 2 \left( \sin x \cdot \frac{1}{2} - \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right)
\]
\[
\sin x = \sin x - \sqrt{3} \cos x
\]
- Упрощаем уравнение:
\[
\sin x - \sin x = - \sqrt{3} \cos x
\]
\[
0 = - \sqrt{3} \cos x
\]
\[
\cos x = 0
\]
- Находим \( x \) из уравнения \(\cos x = 0\):
\[
x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
- Подставляем \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) в выражение для \( y \):
\[
y = \left( \frac{\pi}{2} + \pi k \right) - \frac{\pi}{3}
\]
\[
y = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi k
\]
\[
y = \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi k
\]
\[
y = \frac{\pi}{6} + \pi k
\]
Таким образом, решение системы уравнений:
\[
\left\{\begin{matrix}
x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \\
y = \frac{\pi}{6} + \pi k,
\end{matrix}\right. \quad k \in \mathbb{Z}
\]
Ответ: \(\left\{\begin{matrix}
x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \\
y = \frac{\pi}{6} + \pi k,
\end{matrix}\right. \quad k \in \mathbb{Z}\)