Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix}
sinx-siny=\frac{\sqrt{2}}{2},\\
cos2x+cos2y=1.
\end{matrix}\right.\)
Ответ
NaN
Решение № 21503:
Для решения системы уравнений:
\[
\left\{
\begin{matrix}
\sin x - \sin y = \frac{\sqrt{2}}{2}, \\
\cos 2x + \cos 2y = 1.
\end{matrix}
\right.
\]
Следуйте этим шагам:
- Используем формулу для разности синусов:
\(\sin x - \sin y = 2 \cos \left(\frac{x + y}{2}\right) \sin \left(\frac{x - y}{2}\right)\). Подставляем в первое уравнение:
\[
2 \cos \left(\frac{x + y}{2}\right) \sin \left(\frac{x - y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
- Используем формулу суммы косинусов для двойных углов:
\(\cos 2x + \cos 2y = 2 \cos (x + y)\). Подставляем во второе уравнение:
\[
2 \cos (x + y) = 1 \implies \cos (x + y) = \frac{1}{2}
\]
- Решаем \(\cos (x + y) = \frac{1}{2}\):
\[
x + y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
- Подставляем \(x + y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k\) в первое уравнение:
\[
2 \cos \left(\frac{\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k}{2}\right) \sin \left(\frac{x - y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
2 \cos \left(\pm \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{x - y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \left(\frac{x - y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
\sqrt{3} \sin \left(\frac{x - y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
\sin \left(\frac{x - y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6}
\]
- Решаем \(\sin \left(\frac{x - y}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{6}\):
\[
\frac{x - y}{2} = \arcsin \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}
\]
\[
x - y = 2 \arcsin \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) + 4\pi m
\]
- Теперь у нас есть система:
\[
\left\{
\begin{matrix}
x + y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \\
x - y = 2 \arcsin \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) + 4\pi m.
\end{matrix}
\right.
\]
- Решаем эту систему:
\[
x = \frac{(x + y) + (x - y)}{2} = \frac{\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k + 2 \arcsin \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) + 4\pi m}{2}
\]
\[
x = \frac{\pm \frac{\pi}{3} + 2 \arcsin \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)}{2} + \pi(k + 2m)
\]
\[
y = \frac{(x + y) - (x - y)}{2} = \frac{\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k - 2 \arcsin \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) - 4\pi m}{2}
\]
\[
y = \frac{\pm \frac{\pi}{3} - 2 \arcsin \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)}{2} + \pi(k - 2m)
\]
Ответ:
\[
x = \frac{\pm \frac{\pi}{3} + 2 \arcsin \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)}{2} + \pi(k + 2m), \quad y = \frac{\pm \frac{\pi}{3} - 2 \arcsin \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)}{2} + \pi(k - 2m), \quad k, m \in \mathbb{Z}
\]