Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} x+y=\frac{\pi }{2},\\ \frac{sinx}{siny}=\sqrt{3}. \end{matrix}\right.\)

Ответ

NaN

Решение № 21511:

Решим систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} x + y = \frac{\pi}{2}, \\ \frac{\sin x}{\sin y} = \sqrt{3}. \end{matrix}\right.\)

1. Из первого уравнения выразим \( y \): \[ y = \frac{\pi}{2} - x \]
2. Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ \frac{\sin x}{\sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)} = \sqrt{3} \]
3. Используем тождество \(\sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x\): \[ \frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3} \]
4. Получаем: \[ \tan x = \sqrt{3} \]
5. Решим уравнение \(\tan x = \sqrt{3}\): \[ x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
6. Подставим \( x = \frac{\pi}{3} + k\pi \) в первое уравнение: \[ y = \frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{3} + k\pi\right) = \frac{\pi}{6} - k\pi \]
7. Таким образом, решения системы: \[ \left( x, y \right) = \left( \frac{\pi}{3} + k\pi, \frac{\pi}{6} - k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(\left( x, y \right) = \left( \frac{\pi}{3} + k\pi, \frac{\pi}{6} - k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}\)