Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} x-y=-\frac{\pi }{24},\\ \frac{cosx}{cosy}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}. \end{matrix}\right.\)

Ответ

NaN

Решение № 21513:

Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} x - y = -\frac{\pi}{24}, \\ \frac{\cos x}{\cos y} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}. \end{matrix} \right. \] Выполним следующие шаги:

1. Выразим \( x \) через \( y \) из первого уравнения: \[ x = y - \frac{\pi}{24} \]
2. Подставим \( x \) из первого уравнения во второе уравнение: \[ \frac{\cos \left( y - \frac{\pi}{24} \right)}{\cos y} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}} \]
3. Используем формулу косинуса разности углов: \[ \cos \left( y - \frac{\pi}{24} \right) = \cos y \cos \frac{\pi}{24} + \sin y \sin \frac{\pi}{24} \] Подставим это в уравнение: \[ \frac{\cos y \cos \frac{\pi}{24} + \sin y \sin \frac{\pi}{24}}{\cos y} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}} \]
4. Упростим выражение: \[ \cos \frac{\pi}{24} + \tan y \sin \frac{\pi}{24} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}} \]
5. Решим уравнение относительно \( \tan y \): \[ \tan y = \frac{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}} - \cos \frac{\pi}{24}}{\sin \frac{\pi}{24}} \]
6. Найдем значения \( \cos \frac{\pi}{24} \) и \( \sin \frac{\pi}{24} \). Используем формулы для косинуса и синуса суммы углов: \[ \cos \frac{\pi}{24} = \cos \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{8} \right) = \cos \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{8} \] \[ \sin \frac{\pi}{24} = \sin \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{8} \right) = \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{8} - \cos \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{8} \] Значения \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \), \( \cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \), \( \sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \).
7. Подставим эти значения и упростим: \[ \cos \frac{\pi}{24} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \] \[ \sin \frac{\pi}{24} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \]
8. Решим уравнение для \( y \): \[ \tan y = \frac{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}} - \cos \frac{\pi}{24}}{\sin \frac{\pi}{24}} \]
9. Найдем \( y \) и подставим его в первое уравнение для нахождения \( x \).

Таким образом, решение системы уравнений сводится к нахождению \( y \) и \( x \) через выражения косинуса и синуса углов.