Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} sin(2x+y)=0,\\ cos(x+y)=1; -\pi \leqslant x\leqslant \pi , -2\pi \leqslant y\leqslant \pi. \end{matrix}\right.\)

Ответ

NaN

Решение № 21506:

Конечно, давайте решим систему уравнений пошагово: ```html

1. Рассмотрим первое уравнение: \(\sin(2x + y) = 0\). Это уравнение будет верно, если \(2x + y = k\pi\), где \(k\) — целое число.
2. Рассмотрим второе уравнение: \(\cos(x + y) = 1\). Это уравнение будет верно, если \(x + y = 2m\pi\), где \(m\) — целое число.
3. Теперь у нас есть система линейных уравнений: \[\left\{\begin{matrix} 2x + y = k\pi \\ x + y = 2m\pi \end{matrix}\right.\]
4. Вычтем второе уравнение из первого: \[(2x + y) - (x + y) = k\pi - 2m\pi\] \[x = (k - 2m)\pi\]
5. Подставим \(x = (k - 2m)\pi\) во второе уравнение: \[((k - 2m)\pi + y) = 2m\pi\] \[y = 2m\pi - (k - 2m)\pi\] \[y = (4m - k)\pi\]
6. Теперь у нас есть решения: \[\left\{\begin{matrix} x = (k - 2m)\pi \\ y = (4m - k)\pi \end{matrix}\right.\]
7. Учитываем ограничения: \(-\pi \leqslant x \leqslant \pi\) и \(-2\pi \leqslant y \leqslant \pi\). Это означает, что \(k\) и \(m\) должны быть такими, чтобы: \[-\pi \leqslant (k - 2m)\pi \leqslant \pi\] \[-2\pi \leqslant (4m - k)\pi \leqslant \pi\]
8. Решим неравенства: \[-1 \leqslant k - 2m \leqslant 1\] \[-2 \leqslant 4m - k \leqslant 1\]
9. Рассмотрим возможные значения \(k\) и \(m\): \[k - 2m = -1, 0, 1\] \[4m - k = -2, -1, 0, 1\]
10. Проверим возможные комбинации:
    • Если \(k - 2m = 0\), то \(k = 2m\). Тогда \(4m - k = 4m - 2m = 2m\). Для \(2m\) в пределах \([-2, 1]\), \(m\) может быть \(0\). Тогда \(k = 0\), \(x = 0\), \(y = 0\).
    • Если \(k - 2m = 1\), то \(k = 2m + 1\). Тогда \(4m - k = 4m - (2m + 1) = 2m - 1\). Для \(2m - 1\) в пределах \([-2, 1]\), \(m\) может быть \(0\). Тогда \(k = 1\), \(x = \pi\), \(y = -\pi\).
    • Если \(k - 2m = -1\), то \(k = 2m - 1\). Тогда \(4m - k = 4m - (2m - 1) = 2m + 1\). Для \(2m + 1\) в пределах \([-2, 1]\), \(m\) может быть \(-1\). Тогда \(k = -3\), \(x = -\pi\), \(y = \pi\).
11. Итак, решения системы уравнений: \[\left\{\begin{matrix} x = 0, y = 0 \\ x = \pi, y = -\pi \\ x = -\pi, y = \pi \end{matrix}\right.\]

Ответ: \(\left\{\begin{matrix} x = 0, y = 0 \\ x = \pi, y = -\pi \\ x = -\pi, y = \pi \end{matrix}\right.\)

``` Таким образом, мы нашли все решения системы уравнений в заданных пределах.