Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} x+y=\frac{\pi }{2},\\ \frac{tgx}{tgy}=3. \end{matrix}\right.\)

Ответ

NaN

Решение № 21509:

Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} x + y = \frac{\pi}{2}, \\ \frac{\tan x}{\tan y} = 3. \end{matrix} \right. \] следуем следующим шагам:

1. Из первого уравнения выразим \( y \): \[ y = \frac{\pi}{2} - x \]
2. Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ \frac{\tan x}{\tan \left(\frac{\pi}{2} - x\right)} = 3 \]
3. Используем тождество \(\tan \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cot x\): \[ \frac{\tan x}{\cot x} = 3 \]
4. Подставим \(\cot x = \frac{1}{\tan x}\): \[ \frac{\tan x}{\frac{1}{\tan x}} = 3 \implies \tan^2 x = 3 \]
5. Решим уравнение \(\tan^2 x = 3\): \[ \tan x = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad \tan x = -\sqrt{3} \]
6. Найдем \( x \) для \(\tan x = \sqrt{3}\): \[ x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
7. Найдем \( y \) для \(\tan x = \sqrt{3}\): \[ y = \frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{3} + \pi k\right) = \frac{\pi}{6} - \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
8. Найдем \( x \) для \(\tan x = -\sqrt{3}\): \[ x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
9. Найдем \( y \) для \(\tan x = -\sqrt{3}\): \[ y = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{3} + \pi k\right) = \frac{5\pi}{6} - \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ:

\[ \left\{ \begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \\ y = \frac{\pi}{6} - \pi k \end{matrix} \right., \quad k \in \mathbb{Z} \] или \[ \left\{ \begin{matrix} x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \\ y = \frac{5\pi}{6} - \pi k \end{matrix} \right., \quad k \in \mathbb{Z} \]