Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} x-y=-\frac{\pi }{3},\\ ctgxctgy=\frac{1}{3}. \end{matrix}\right.\)

Ответ

NaN

Решение № 21495:

Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} x - y = -\frac{\pi}{3}, \\ \operatorname{ctg} x \cdot \operatorname{ctg} y = \frac{1}{3}. \end{matrix} \right. \] следуем пошаговому плану:

1. Решим первое уравнение \(x - y = -\frac{\pi}{3}\) относительно \(y\): \[ y = x + \frac{\pi}{3} \]
2. Подставим \(y = x + \frac{\pi}{3}\) во второе уравнение: \[ \operatorname{ctg} x \cdot \operatorname{ctg} \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{3} \]
3. Используем формулу для котангенса суммы углов: \[ \operatorname{ctg} \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\operatorname{ctg} x \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} - 1}{\operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3}} \] Здесь \(\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}\), тогда: \[ \operatorname{ctg} \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\operatorname{ctg} x \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - 1}{\operatorname{ctg} x + \frac{1}{\sqrt{3}}} \]
4. Подставим это выражение в уравнение: \[ \operatorname{ctg} x \cdot \frac{\operatorname{ctg} x \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - 1}{\operatorname{ctg} x + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1}{3} \]
5. Упростим уравнение: \[ \operatorname{ctg} x \cdot \left(\frac{\operatorname{ctg} x - \sqrt{3}}{\sqrt{3} \operatorname{ctg} x + 1}\right) = \frac{1}{3} \] \[ \frac{\operatorname{ctg}^2 x - \operatorname{ctg} x \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \operatorname{ctg} x + 1} = \frac{1}{3} \]
6. Умножим обе части уравнения на \(3(\sqrt{3} \operatorname{ctg} x + 1)\): \[ 3(\operatorname{ctg}^2 x - \operatorname{ctg} x \cdot \sqrt{3}) = \sqrt{3} \operatorname{ctg} x + 1 \] \[ 3 \operatorname{ctg}^2 x - 3 \operatorname{ctg} x \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \operatorname{ctg} x + 1 \]
7. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 3 \operatorname{ctg}^2 x - 4 \operatorname{ctg} x \cdot \sqrt{3} - 1 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение относительно \(\operatorname{ctg} x\): \[ \operatorname{ctg} x = \frac{4 \sqrt{3} \pm \sqrt{(4 \sqrt{3})^2 + 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} \] \[ \operatorname{ctg} x = \frac{4 \sqrt{3} \pm \sqrt{48 + 12}}{6} \] \[ \operatorname{ctg} x = \frac{4 \sqrt{3} \pm \sqrt{60}}{6} \] \[ \operatorname{ctg} x = \frac{4 \sqrt{3} \pm 2 \sqrt{15}}{6} \] \[ \operatorname{ctg} x = \frac{2 \sqrt{3} \pm \sqrt{15}}{3} \]
9. Найдем значения \(x\): \[ x = \operatorname{arcctg} \left(\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{15}}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \operatorname{arcctg} \left(\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{15}}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
10. Найдем соответствующие значения \(y\): \[ y = \operatorname{arcctg} \left(\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{15}}{3}\right) + \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ y = \operatorname{arcctg} \left(\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{15}}{3}\right) + \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ:

\[ \left(x_1, y_1\right) = \left(\operatorname{arcctg} \left(\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{15}}{3}\right) + \pi k, \operatorname{arcctg} \left(\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{15}}{3}\right) + \frac{\pi}{3} + \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ \left(x_2, y_2\right) = \left(\operatorname{arcctg} \left(\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{15}}{3}\right) + \pi k, \operatorname{arcctg} \left(\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{15}}{3}\right) + \frac{\pi}{3} + \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z} \]