Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} x+y=\frac{5\pi }{6},\\ \frac{ctgx}{ctgy}=-\frac{1}{3}. \end{matrix}\right.\)

Ответ

NaN

Решение № 21510:

Для решения системы уравнений: \[ \left\{\begin{matrix} x + y = \frac{5\pi}{6}, \\ \frac{\operatorname{ctg} x}{\operatorname{ctg} y} = -\frac{1}{3}. \end{matrix}\right. \] выполним следующие шаги:

1. Из первого уравнения выразим \( y \): \[ y = \frac{5\pi}{6} - x \]
2. Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ \frac{\operatorname{ctg} x}{\operatorname{ctg} \left( \frac{5\pi}{6} - x \right)} = -\frac{1}{3} \]
3. Используем формулу для котангенса разности углов: \[ \operatorname{ctg} \left( \frac{5\pi}{6} - x \right) = \frac{\cos \left( \frac{5\pi}{6} - x \right)}{\sin \left( \frac{5\pi}{6} - x \right)} \]
4. Подставим значения синуса и косинуса: \[ \cos \left( \frac{5\pi}{6} - x \right) = \cos \frac{5\pi}{6} \cos x + \sin \frac{5\pi}{6} \sin x \] \[ \sin \left( \frac{5\pi}{6} - x \right) = \sin \frac{5\pi}{6} \cos x - \cos \frac{5\pi}{6} \sin x \] \[ \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2} \] \[ \cos \left( \frac{5\pi}{6} - x \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x \] \[ \sin \left( \frac{5\pi}{6} - x \right) = \frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \]
5. Теперь выразим котангенс: \[ \operatorname{ctg} \left( \frac{5\pi}{6} - x \right) = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x}{\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x} \]
6. Подставим это выражение во второе уравнение: \[ \frac{\operatorname{ctg} x}{\operatorname{ctg} \left( \frac{5\pi}{6} - x \right)} = \frac{\operatorname{ctg} x}{\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x}{\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x}} = -\frac{1}{3} \]
7. Упростим выражение: \[ \frac{\operatorname{ctg} x \left( \frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \right)}{-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x} = -\frac{1}{3} \] \[ \frac{\operatorname{ctg} x \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{tg} x \right)}{-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \operatorname{tg} x} = -\frac{1}{3} \]
8. Решим это уравнение относительно \(\operatorname{tg} x\): \[ \frac{\operatorname{ctg} x \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{tg} x \right)}{-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \operatorname{tg} x} = -\frac{1}{3} \] \[ \frac{\left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{tg} x \right)}{\operatorname{tg} x \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \operatorname{tg} x \right)} = -\frac{1}{3} \] \[ \frac{1 + \sqrt{3} \operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} x \left( -\sqrt{3} + \operatorname{tg} x \right)} = -\frac{1}{3} \] \[ 3(1 + \sqrt{3} \operatorname{tg} x) = -\operatorname{tg} x \left( -\sqrt{3} + \operatorname{tg} x \right) \] \[ 3 + 3\sqrt{3} \operatorname{tg} x = \sqrt{3} \operatorname{tg} x - \operatorname{tg}^2 x \] \[ \operatorname{tg}^2 x - 2\sqrt{3} \operatorname{tg} x - 3 = 0 \]
9. Решим квадратное уравнение: \[ \operatorname{tg} x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 4 \cdot 3}}{2} \] \[ \operatorname{tg} x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 12}}{2} \] \[ \operatorname{tg} x = \frac{2\sqrt{3} \pm 2\sqrt{6}}{2} \] \[ \operatorname{tg} x = \sqrt{3} \pm \sqrt{6} \]
10. Найдем \( x \) и \( y \): \[ x = \operatorname{arctg} (\sqrt{3} + \sqrt{6}) \quad \text{или} \quad x = \operatorname{arctg} (\sqrt{3} - \sqrt{6}) \] \[ y = \frac{5\pi}{6} - x \]

Ответ: \( x = \operatorname{arctg} (\sqrt{3} + \sqrt{6}), y = \frac{5\pi}{6} - \operatorname{arctg} (\sqrt{3} + \sqrt{6}) \) или \( x = \operatorname{arctg} (\sqrt{3} - \sqrt{6}), y = \frac{5\pi}{6} - \operatorname{arctg} (\sqrt{3} - \sqrt{6}) \)