Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix}
x-y=\frac{3\pi }{2},\\
5cos^{2}x=6siny-1.
\end{matrix}\right.\)
Ответ
NaN
Решение № 21488:
Решим систему уравнений:
\[\left\{\begin{matrix}
x-y=\frac{3\pi }{2},\\
5\cos^{2}x=6\sin y-1.
\end{matrix}\right.\]
- Из первого уравнения выразим \( y \):
\[ y = x - \frac{3\pi}{2} \]
- Подставим \( y \) во второе уравнение:
\[ 5\cos^{2}x = 6\sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) - 1 \]
- Используем тригонометрическое тождество \(\sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos x\):
\[ 5\cos^{2}x = 6\cos x - 1 \]
- Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения относительно \(\cos x\):
\[ 5\cos^{2}x - 6\cos x + 1 = 0 \]
- Решим квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16 \]
- Найдем корни квадратного уравнения:
\[ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 4}{10} \]
\[ \cos x = \frac{6 + 4}{10} = 1 \]
\[ \cos x = \frac{6 - 4}{10} = \frac{1}{5} \]
- Найдем \( x \), используя значения \(\cos x\):
\[ \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
\[ \cos x = \frac{1}{5} \Rightarrow x = \pm \arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
- Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):
\[ \text{Для } x = 2\pi k: \]
\[ y = 2\pi k - \frac{3\pi}{2} \]
\[ \text{Для } x = \pm \arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2\pi n: \]
\[ y = \pm \arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2\pi n - \frac{3\pi}{2} \]
Ответ:
\[ \left(2\pi k, 2\pi k - \frac{3\pi}{2}\right), k \in \mathbb{Z} \]
\[ \left(\pm \arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2\pi n, \pm \arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2\pi n - \frac{3\pi}{2}\right), n \in \mathbb{Z} \]