Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix}
x+y=\frac{13\pi }{2},\\
\frac{cosx}{cosy}=-\frac{1}{\sqrt{2}}.
\end{matrix}\right.\)
Ответ
NaN
Решение № 21512:
Решим систему уравнений:
\[
\left\{
\begin{matrix}
x + y = \frac{13\pi}{2}, \\
\frac{\cos x}{\cos y} = -\frac{1}{\sqrt{2}}.
\end{matrix}
\right.
\]
- Из первого уравнения выразим \( y \):
\[
y = \frac{13\pi}{2} - x
\]
- Подставим \( y \) во второе уравнение:
\[
\frac{\cos x}{\cos \left( \frac{13\pi}{2} - x \right)} = -\frac{1}{\sqrt{2}}
\]
- Используем тригонометрическое тождество для косинуса разности углов:
\[
\cos \left( \frac{13\pi}{2} - x \right) = \cos \left( \frac{13\pi}{2} \right) \cos x + \sin \left( \frac{13\pi}{2} \right) \sin x
\]
Поскольку \(\cos \left( \frac{13\pi}{2} \right) = 0\) и \(\sin \left( \frac{13\pi}{2} \right) = -1\), получаем:
\[
\cos \left( \frac{13\pi}{2} - x \right) = -\sin x
\]
- Подставим это в уравнение:
\[
\frac{\cos x}{-\sin x} = -\frac{1}{\sqrt{2}}
\]
Упростим:
\[
\cot x = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
- Используем тождество для котангенса:
\[
\cot x = \frac{1}{\tan x}
\]
Откуда:
\[
\tan x = \sqrt{2}
\]
- Решим уравнение \(\tan x = \sqrt{2}\):
\[
x = \arctan \sqrt{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
Поскольку \(\arctan \sqrt{2}\) это угол, чей тангенс равен \(\sqrt{2}\), можно использовать известное значение \(\arctan \sqrt{2} = \frac{\pi}{4}\):
\[
x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
- Подставим \( x \) обратно в уравнение для \( y \):
\[
y = \frac{13\pi}{2} - \left( \frac{\pi}{4} + \pi k \right) = \frac{13\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - \pi k = \frac{26\pi}{4} - \frac{\pi}{4} - \pi k = \frac{25\pi}{4} - \pi k
\]
Ответ:
\(
\left\{
\begin{matrix}
x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \\
y = \frac{25\pi}{4} - \pi k,
\end{matrix}
\right.
\)
где \( k \in \mathbb{Z} \).