Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix}
sinxsiny=\frac{3}{4},\\
tgxtgy=3.
\end{matrix}\right.\)
Ответ
NaN
Решение № 21497:
Для решения системы уравнений \(\left\{\begin{matrix}
\sin x \sin y = \frac{3}{4}, \\
\operatorname{tg} x \operatorname{tg} y = 3.
\end{matrix}\right.\) пошагово:
- Перепишем систему уравнений:
\(\left\{\begin{matrix}
\sin x \sin y = \frac{3}{4}, \\
\operatorname{tg} x \operatorname{tg} y = 3.
\end{matrix}\right.\)
- Вспомним, что \(\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}\) и \(\operatorname{tg} y = \frac{\sin y}{\cos y}\). Тогда второе уравнение можно переписать как:
\(\frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = 3\)
- Из первого уравнения знаем, что \(\sin x \sin y = \frac{3}{4}\). Подставим это значение во второе уравнение:
\(\frac{\frac{3}{4}}{\cos x \cos y} = 3\)
- Решим уравнение для \(\cos x \cos y\):
\(\frac{3}{4 \cos x \cos y} = 3\)
\(\cos x \cos y = \frac{1}{4}\)
- Теперь имеем систему:
\(\left\{\begin{matrix}
\sin x \sin y = \frac{3}{4}, \\
\cos x \cos y = \frac{1}{4}.
\end{matrix}\right.\)
- Используем формулу для произведения синусов и косинусов:
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y\)
\(\cos(x - y) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\)
- Так как \(\cos(x - y) = 1\), то \(x - y = 2k\pi\), где \(k\) — целое число.
- Используем формулу для произведения синусов и косинусов:
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\)
\(\cos(x + y) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}\)
- Так как \(\cos(x + y) = -\frac{1}{2}\), то \(x + y = \frac{2\pi}{3} + 2l\pi\) или \(x + y = -\frac{2\pi}{3} + 2l\pi\), где \(l\) — целое число.
- Решим систему линейных уравнений:
\(\left\{\begin{matrix}
x - y = 2k\pi, \\
x + y = \frac{2\pi}{3} + 2l\pi.
\end{matrix}\right.\)
- Сложим и вычтем уравнения:
\(2x = \frac{2\pi}{3} + 2l\pi + 2k\pi\)
\(x = \frac{\pi}{3} + (k + l)\pi\)
- Подставим \(x\) во второе уравнение:
\(\left(\frac{\pi}{3} + (k + l)\pi\right) + y = \frac{2\pi}{3} + 2l\pi\)
\(y = \frac{\pi}{3} + (l - k)\pi\)
- Таким образом, решение системы:
\(\left\{\begin{matrix}
x = \frac{\pi}{3} + (k + l)\pi, \\
y = \frac{\pi}{3} + (l - k)\pi,
\end{matrix}\right.\)
где \(k\) и \(l\) — целые числа.
Ответ: \(\left\{\begin{matrix}
x = \frac{\pi}{3} + (k + l)\pi, \\
y = \frac{\pi}{3} + (l - k)\pi,
\end{matrix}\right.\)