Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix}
x-y=\frac{\pi }{6},\\
\frac{sinx}{cosy}=2.
\end{matrix}\right.\)
Ответ
NaN
Решение № 21508:
- Рассмотрим первое уравнение системы:
\[
x - y = \frac{\pi}{6}
\]
Отсюда:
\[
y = x - \frac{\pi}{6}
\]
- Подставим выражение для \( y \) во второе уравнение:
\[
\frac{\sin x}{\cos y} = 2
\]
Подставим \( y = x - \frac{\pi}{6} \):
\[
\frac{\sin x}{\cos \left( x - \frac{\pi}{6} \right)} = 2
\]
- Используем формулу для косинуса разности углов:
\[
\cos \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \cos x \cos \frac{\pi}{6} + \sin x \sin \frac{\pi}{6}
\]
Подставим значения \(\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\):
\[
\cos \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin x \cdot \frac{1}{2}
\]
- Подставим это выражение обратно во второе уравнение:
\[
\frac{\sin x}{\cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin x \cdot \frac{1}{2}} = 2
\]
Умножим числитель и знаменатель на 2:
\[
\frac{2 \sin x}{\sqrt{3} \cos x + \sin x} = 2
\]
- Упростим уравнение:
\[
2 \sin x = 2 (\sqrt{3} \cos x + \sin x)
\]
Раскроем скобки:
\[
2 \sin x = 2 \sqrt{3} \cos x + 2 \sin x
\]
Вычтем \(2 \sin x\) из обеих частей:
\[
0 = 2 \sqrt{3} \cos x
\]
Отсюда:
\[
\cos x = 0
\]
- Решим уравнение \(\cos x = 0\):
\[
x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
- Подставим \(x\) обратно в первое уравнение системы:
\[
y = x - \frac{\pi}{6}
\]
Подставим \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\):
\[
y = \left( \frac{\pi}{2} + \pi k \right) - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + \pi k
\]
Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad y = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)