Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} sinx-3cosy=2,\\ 3sinx+cosy=1. \end{matrix}\right.\)
Ответ
NaN
Решение № 21500:
Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} \sin x - 3 \cos y = 2, \\ 3 \sin x + \cos y = 1. \end{matrix} \right. \] 1. **Умножим второе уравнение на 3:** \[ 3(3 \sin x + \cos y) = 3(1) \] \[ 9 \sin x + 3 \cos y = 3 \] 2. **Прибавим полученное уравнение к первому уравнению:** \[ (\sin x - 3 \cos y) + (9 \sin x + 3 \cos y) = 2 + 3 \] \[ \sin x + 9 \sin x = 5 \] \[ 10 \sin x = 5 \] \[ \sin x = \frac{1}{2} \] 3. **Подставим \(\sin x = \frac{1}{2}\) во второе уравнение:** \[ 3 \left(\frac{1}{2}\right) + \cos y = 1 \] \[ \frac{3}{2} + \cos y = 1 \] \[ \cos y = 1 - \frac{3}{2} \] \[ \cos y = -\frac{1}{2} \] 4. **Решим уравнения для \(x\) и \(y\):** \[ \sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ \cos y = -\frac{1}{2} \implies y = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi \quad \text{или} \quad y = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] 5. **Запишем решения в виде таблицы:** \[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline \frac{\pi}{6} + 2k\pi & \frac{2\pi}{3} + 2n\pi \\ \hline \frac{\pi}{6} + 2k\pi & \frac{4\pi}{3} + 2n\pi \\ \hline \frac{5\pi}{6} + 2k\pi & \frac{2\pi}{3} + 2n\pi \\ \hline \frac{5\pi}{6} + 2k\pi & \frac{4\pi}{3} + 2n\pi \\ \hline \end{array} \] где \(k\) и \(n\) — целые числа.
Ответ:
\(x_1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, y_1 = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi\)
\(x_2 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, y_2 = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi\)
\(x_3 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, y_3 = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi\)
\(x_4 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, y_4 = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi\)
где \(k\) и \(n\) — целые числа.