Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix}
x-y=-\frac{1}{3},\\
cos^{2}\pi x-sin^{2}\pi x=\frac{1}{2}.
\end{matrix}\right.\)
Ответ
NaN
Решение № 21493:
Для решения системы уравнений:
\[
\left\{
\begin{matrix}
x - y = -\frac{1}{3}, \\
\cos^2 \pi x - \sin^2 \pi x = \frac{1}{2}.
\end{matrix}
\right.
\]
следуйте следующим шагам:
- Рассмотрим первое уравнение:
\[
x - y = -\frac{1}{3}
\]
Выразим \( y \) через \( x \):
\[
y = x + \frac{1}{3}
\]
- Рассмотрим второе уравнение:
\[
\cos^2 \pi x - \sin^2 \pi x = \frac{1}{2}
\]
Используем тригонометрическую идентичность для косинуса двойного угла:
\[
\cos 2\pi x = \cos^2 \pi x - \sin^2 \pi x
\]
Таким образом, уравнение принимает вид:
\[
\cos 2\pi x = \frac{1}{2}
\]
- Решим уравнение \(\cos 2\pi x = \frac{1}{2}\):
\[
2\pi x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z}
\]
Разделим на \(2\pi\):
\[
x = \pm \frac{1}{6} + k \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z}
\]
- Подставим \( x \) в выражение для \( y \):
\[
y = \left( \pm \frac{1}{6} + k \right) + \frac{1}{3}
\]
Упростим:
\[
y = \pm \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + k = \pm \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + k = \pm \frac{1}{6} + \frac{1}{2} + k
\]
- Таким образом, решения системы уравнений:
\[
\left\{
\begin{matrix}
x = \pm \frac{1}{6} + k, \\
y = \pm \frac{1}{6} + \frac{1}{2} + k,
\end{matrix}
\right.
\]
где \( k \in \mathbb{Z} \).
Ответ:
\[
\left( \pm \frac{1}{6} + k, \pm \frac{1}{6} + \frac{1}{2} + k \right), \quad k \in \mathbb{Z}
\]