Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} x-y=1,\\ cos\pi x+\sqrt{3}=cos\pi y. \end{matrix}\right.\)

Ответ

NaN

Решение № 21484:

Для решения системы уравнений: \[ \left\{\begin{matrix} x - y = 1, \\ \cos \pi x + \sqrt{3} = \cos \pi y. \end{matrix}\right. \] последовательно выполним следующие шаги: 1. **Выразим \( y \) через \( x \) из первого уравнения:** \[ x - y = 1 \implies y = x - 1 \] 2. **Подставим \( y = x - 1 \) во второе уравнение:** \[ \cos \pi x + \sqrt{3} = \cos \pi (x - 1) \] 3. **Упростим второе уравнение:** \[ \cos \pi (x - 1) = \cos (\pi x - \pi) = \cos \pi x \cdot \cos \pi + \sin \pi x \cdot \sin \pi \] Поскольку \(\cos \pi = -1\) и \(\sin \pi = 0\), получаем: \[ \cos \pi (x - 1) = \cos \pi x \cdot (-1) = -\cos \pi x \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ \cos \pi x + \sqrt{3} = -\cos \pi x \] 4. **Решим уравнение для \( \cos \pi x \):** \[ \cos \pi x + \sqrt{3} = -\cos \pi x \implies 2 \cos \pi x = -\sqrt{3} \implies \cos \pi x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] 5. **Найдем \( x \) из уравнения \( \cos \pi x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \):** \[ \cos \pi x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies \pi x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pm \frac{5}{6} + 2k, \quad k \in \mathbb{Z} \] 6. **Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):** \[ y = x - 1 \] Для \( x = \frac{5}{6} + 2k \): \[ y = \frac{5}{6} + 2k - 1 = -\frac{1}{6} + 2k \] Для \( x = -\frac{5}{6} + 2k \): \[ y = -\frac{5}{6} + 2k - 1 = -\frac{11}{6} + 2k \] Таким образом, решения системы уравнений: \[ \left( \frac{5}{6} + 2k, -\frac{1}{6} + 2k \right), \quad k \in \mathbb{Z} \] и \[ \left( -\frac{5}{6} + 2k, -\frac{11}{6} + 2k \right), \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(\left( \frac{5}{6} + 2k, -\frac{1}{6} + 2k \right), \left( -\frac{5}{6} + 2k, -\frac{11}{6} + 2k \right), \quad k \in \mathbb{Z}\)