Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение систем тригонометрических уравнений,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} x+y=\frac{\pi }{6},\\ 5(sin2x+sin2y)=2(1+cos^{2}(x-y)). \end{matrix}\right.\)

Ответ

NaN

Решение № 21492:

Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} x + y = \frac{\pi}{6}, \\ 5(\sin 2x + \sin 2y) = 2(1 + \cos^2(x - y)). \end{matrix} \right. \] последовательно выполним следующие шаги:

1. Выразим \( y \) из первого уравнения: \[ y = \frac{\pi}{6} - x \]
2. Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ 5(\sin 2x + \sin 2\left(\frac{\pi}{6} - x\right)) = 2(1 + \cos^2(x - \left(\frac{\pi}{6} - x\right))) \]
3. Упростим выражение \(\sin 2\left(\frac{\pi}{6} - x\right)\): \[ \sin 2\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) \]
4. Используем формулу суммы синусов: \[ \sin 2x + \sin\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = 2 \sin\left(\frac{2x + \frac{\pi}{3} - 2x}{2}\right) \cos\left(\frac{2x - \left(\frac{\pi}{3} - 2x\right)}{2}\right) \] \[ = 2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) \]
5. Подставим это в уравнение: \[ 5 \cdot 2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = 2(1 + \cos^2(2x - \frac{\pi}{6})) \]
6. Упростим \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ 5 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = 2(1 + \cos^2(2x - \frac{\pi}{6})) \] \[ 5 \sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = 2(1 + \cos^2(2x - \frac{\pi}{6})) \]
7. Упростим \(\cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right)\): \[ \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) \]
8. Подставим это в уравнение: \[ 5 \sqrt{3} \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 2(1 + \cos^2(2x - \frac{\pi}{6})) \]
9. Упростим \(\cos^2(2x - \frac{\pi}{6})\): \[ \cos^2(2x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1 + \cos(2(2x - \frac{\pi}{6}))}{2} \]
10. Подставим это в уравнение: \[ 5 \sqrt{3} \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 2\left(1 + \frac{1 + \cos(4x - \frac{\pi}{3})}{2}\right) \] \[ 5 \sqrt{3} \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 2 + 1 + \cos(4x - \frac{\pi}{3}) \] \[ 5 \sqrt{3} \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 3 + \cos(4x - \frac{\pi}{3}) \]
11. Рассмотрим два случая:
    1. Случай 1: \(\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 0\): \[ \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \implies 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + k\pi \] \[ 2x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \implies x = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} \] \[ y = \frac{\pi}{6} - x = \frac{\pi}{6} - \left(\frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{4} - \frac{k\pi}{2} \]
    2. Случай 2: \(\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 1\): \[ \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 1 \implies 2x - \frac{\pi}{3} = 2k\pi \implies 2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{6} + k\pi \] \[ y = \frac{\pi}{6} - x = \frac{\pi}{6} - \left(\frac{\pi}{6} + k\pi\right) = -k\pi \]

Ответ: \((x, y) = \left(\frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, -\frac{\pi}{4} - \frac{k\pi}{2}\right)\) или \((x, y) = \left(\frac{\pi}{6} + k\pi, -k\pi\right)\), где \(k\) — целое число.