Решение №38707: Первый способ. Прямая \(y = y_{0}\) пересекает данную прямую в точке с координатами \((x_{1}; y_{0})\), где \(ах_{1} + by_{0} + с = 0\). Поэтому \(х_{0} - x_{1} = \frac{ах_{0} + by_{0} + c}{a}\). Искомое расстояние равно высоте, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами \(\frac{ax_{0} + by_{0} + c}{a}|\) и \(\frac{ax_{0} + by_{0} + c}{b}|\). Для треугольника с катетами \(u\) и \(v\) эта высота равна \(\frac{uv}{\sqrt{u^2+v^2}}\). Второй способ. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку \(с\) координатами (x_{0} : y_{0}) перпендикулярно данной прямой, и найдите координаты точки пересечения этой прямой и данной прямой.

Ответ: Искомое расстояние равно высоте, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами \(\fraq{a$x_{0}$ + b$y_{0}$ + c}{a}|\) и \(\fraq{a$x_{0}$ + b$y_{0}$ + c}{b}|\). Для треугольника с катетами \(u\) и \(v\) эта высота равна \(\fraq{uv}{\sqrt{$u^2$+$v^2$}}\).

Решение №38708: Введите прямоугольную систему координат, начало которой - одна из вершин прямоугольника, а оси направлены по его сторонам.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38709: Прямая, проходящая через точки \((0; 0)\) и \((х_{1} ; y_{1})\), задаётся уравнением \(y_{1}х - х_{1}у = 0\). Поэтому согласно задаче 27.1 расстояние от точки \((x_{2} ; y_{2})\) до этой прямой равно \(\frac{|y_{1}x_{2} - x_{1}y_{2}|}{\sqrt{(x_{1})^2 + (y_{1})^2}}\). Это расстояние равно высоте рассматриваемого треугольника, проведённой к стороне длиной \(\sqrt{(x_{1})^2 + (y_{1})^2}}\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38710: Введите прямоугольную систему координат так, чтобы точки \(А\) и \(В\) имели координаты \((-а; 0)\) и \((а; 0)\) соответственно. Координаты \((х; у)\) точки \(М\), для которой \(AM^2 = \kappa^2BM^2\), удовлетворяют уравнению \((x + a)^2 + y^2 = \kappa^2((x - a)^2 + y^2), т. e. \( (x + \frac{1 + \kappa^2}{1 - \kappa^2}a)^2 = (\frac{2\kappa a}{1 - \kappa^2})^2\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38711: Уравнение, которому удовлетворяют координаты \((х; у)\) точки X, имеет вид \(\kappa(х^2 + y^2) + px + qy + r = 0\), где \(\kappa = \kappa_{1} + ... + \kappa_{n}\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38712: Уравнение, которому удовлетворяют координаты \((х; у)\) точки X, имеет вид \(\kappa(х^2 + y^2) + px + qy + r = 0\), где \(\kappa = \kappa_{1} + ... + \kappa_{n}\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38713: Пусть \((а_{1}; b_{1})\), \((а_{2}; b_{2})\) и \((а_{3}; b_{3})\) - координаты вершин треугольника. Координаты центра описанной около него окружности задаются системой уравнений \begin{equation*} \begin{cases} (x - a_{1})^{2}v+ (y - b_{1})^{2} = (x - a_{2})^{2} + (y - b_{2})^{2} (x - a_{1})^{2} + (y - b_{1})^{2} = (x - a_{3})^{2} + (y - b_{2})^{2} \end{cases} \end{equation*} После сокращений получаются линейные уравнения, поэтому решение рассматриваемой системы уравнений рационально.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38714: Отметьте на отрезках \(АВ\) и \(CD\) точки \(К\) и \(L\), делящие их в указанных отношениях. Докажите, что точка пересечения прямых \(АК\) и \(CL\) лежит на окружности \(S\). Для этого введите систему координат с началом в центре \(О\) окружности \(S\) и осями \(Ох\) и \(Оу\), направленными по лучам \(ОВ\) и \(OD\). Радиус окружности \(S\) можно считать равным 1. Прямые \(АК\) и \(CL\) задаются уравнениями \(у = \frac{x + 1}{3}\) и \(у = 2х - 1\). Поэтому их общая точка имеет координаты \(х_{0} = \frac{4}{5}\) и \(y_{0} = \frac{3}{5}\). Ясно, что \((x_{0})^2 + (y_{0})^2 = 1\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38715: Пусть \(r\) и \(R\) - радиусы вписанной и описанной окружностей, \(d\) - расстояние от центра описанной окружности до образа центра вписанной окружности при рассматриваемой гомотетии. Убедитесь, что \(|R - 2r| = d\). Пусть \((0; 0)\), \((2а; 0)\) и \((0; 2b)\) - координаты вершин треугольника. Тогда \((а; b)\) - координаты центра описанной окружности, \((r; r)\) - координаты центра вписанной окружности, причём \(r = a+ b - R\) (задача 21.4). Следовательно, \(d^2 = (2r - a)^2 + (2r-b)^2 = a^2 + b^2 - 4r(a + b - r) + 4r^2 = (R - 2r)^2\), так как \(a^2 + b^2 = R^2\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38716: Отрезки касательных равны \(АК\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38717: Квадраты отрезков касательных равны \(АМ \cdot AN\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38718: Пусть \(R\) и \(r\) - радиусы окружностей. Рассмотрите систему координат, в которой центры окружностей имеют координаты \((-а; 0)\) и \((а; 0)\). Степени точки с координатами \((x: y)\) относительно данных окружностей равны \((x + a)^2 + y^2 - R^2\) и \((x - a)^2 + y^2 - r^2\) соответственно. Приравнивая эти выражения, получаем \(x = \frac{R^2 - r^2}{4a}\). Это уравнение задаёт прямую, перпендикулярную отрезку, соединяющему центры окружностей.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38719: Согласно задаче 27.12 искомое множество - прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему центры окружностей. Кроме того, эта прямая содержит точку \(К\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38720: Согласно задаче 27.12 искомое множество - прямая. Эта прямая содержит точки \(М\) и \(N\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38721: Середина отрезка общей касательной лежит на радикальной оси.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38722: Центры окружностей не лежат на одной прямой, поэтому радикальная ось первой и второй окружностей пересекается с радикальной осью второй и третьей окружностей. Степени точки пересечения относительно всех трёх окружностей равны, поэтому она лежит на радикальной оси первой и третьей окружностей.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38723: Прямые, содержащие общие хорды окружностей, являются радикальными осями этих окружностей. Эти радикальные оси пересекаются в одной точке, если центры окружностей не лежат на одной прямой. В противном случае они перпендикулярны этой прямой.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №40267: Для решения задачи о нахождении координат оснований перпендикуляров, проведенных из точки \(A(3; -5)\) к осям координат, выполним следующие шаги:

1. Определим координаты точки \(A\): \(A(3; -5)\).
2. Проведем перпендикуляр из точки \(A\) к оси абсцисс (оси \(Ox\)).
3. Отметим, что перпендикуляр к оси \(Ox\) будет вертикальной линией, проходящей через точку \(A(3; -5)\).
4. Координата \(x\) основания перпендикуляра на оси \(Ox\) будет такой же, как и у точки \(A\), то есть \(x = 3\).
5. Координата \(y\) основания перпендикуляра на оси \(Ox\) будет равна нулю, так как основание лежит на оси \(Ox\).
6. Таким образом, координаты основания перпендикуляра на оси \(Ox\) будут \((3; 0)\).
7. Проведем перпендикуляр из точки \(A\) к оси ординат (оси \(Oy\)).
8. Отметим, что перпендикуляр к оси \(Oy\) будет горизонтальной линией, проходящей через точку \(A(3; -5)\).
9. Координата \(x\) основания перпендикуляра на оси \(Oy\) будет равна нулю, так как основание лежит на оси \(Oy\).
10. Координата \(y\) основания перпендикуляра на оси \(Oy\) будет такой же, как и у точки \(A\), то есть \(y = -5\).
11. Таким образом, координаты основания перпендикуляра на оси \(Oy\) будут \((0; -5)\).

Ответ: NaN

Решение №40268: Для решения задачи определения координатной четверти, в которой лежит точка \(A(x; y)\), выполним следующие шаги: ### а) \(х = -4\), \(у = -9\)

1. Определим знак координаты \(x\): \[ x = -4 \] Поскольку \(x < 0\), точка лежит слева от оси ординат.
2. Определим знак координаты \(y\): \[ y = -9 \] Поскольку \(y < 0\), точка лежит ниже оси абсцисс.
3. Определим координатную четверть: \[ \text{Точка } A(-4; -9) \text{ лежит в третьей координатной четверти.} \]

1. Определим знак координаты \(x\): \[ x > 0 \] Поскольку \(x > 0\), точка лежит справа от оси ординат.
2. Определим знак координаты \(y\): \[ y < 0 \] Поскольку \(y < 0\), точка лежит ниже оси абсцисс.
3. Определим координатную четверть: \[ \text{Точка } A(x; y) \text{ лежит в четвертой координатной четверти.} \]

1. Определим знак координаты \(x\): \[ \text{Точка лежит слева от оси ординат, следовательно, } x < 0. \]
2. Определим знак координаты \(y\): \[ \text{Точка лежит выше оси абсцисс, следовательно, } y > 0. \]
3. Определим координатную четверть: \[ \text{Точка } A(x; y) \text{ лежит во второй координатной четверти.} \]

Ответ: NaN

Решение №40269: Для решения задачи определения, какие из координатных осей пересекает отрезок \(CD\), выполним следующие шаги для каждого случая: ### а) \(С(3; -2)\), \(D(8; 1)\)

1. Определим, пересекает ли отрезок \(CD\) ось \(Ox\). Ось \(Ox\) пересекается, если у точек \(C\) и \(D\) разные знаки ординат (y-координат).
2. Проверим знаки ординат точек \(C\) и \(D\): \[ C(3; -2) \quad \text{и} \quad D(8; 1) \] Знаки ординат разные: \(-2\) и \(1\).
3. Следовательно, отрезок \(CD\) пересекает ось \(Ox\).
4. Определим, пересекает ли отрезок \(CD\) ось \(Oy\). Ось \(Oy\) пересекается, если у точек \(C\) и \(D\) разные знаки абсцисс (x-координат).
5. Проверим знаки абсцисс точек \(C\) и \(D\): \[ C(3; -2) \quad \text{и} \quad D(8; 1) \] Знаки абсцисс одинаковые: \(3\) и \(8\).
6. Следовательно, отрезок \(CD\) не пересекает ось \(Oy\).

1. Определим, пересекает ли отрезок \(CD\) ось \(Ox\). Ось \(Ox\) пересекается, если у точек \(C\) и \(D\) разные знаки ординат (y-координат).
2. Проверим знаки ординат точек \(C\) и \(D\): \[ C(-4; -5) \quad \text{и} \quad D(2; -3) \] Знаки ординат одинаковые: \(-5\) и \(-3\).
3. Следовательно, отрезок \(CD\) не пересекает ось \(Ox\).
4. Определим, пересекает ли отрезок \(CD\) ось \(Oy\). Ось \(Oy\) пересекается, если у точек \(C\) и \(D\) разные знаки абсцисс (x-координат).
5. Проверим знаки абсцисс точек \(C\) и \(D\): \[ C(-4; -5) \quad \text{и} \quad D(2; -3) \] Знаки абсцисс разные: \(-4\) и \(2\).
6. Следовательно, отрезок \(CD\) пересекает ось \(Oy\).

1. Определим, пересекает ли отрезок \(CD\) ось \(Ox\). Ось \(Ox\) пересекается, если у точек \(C\) и \(D\) разные знаки ординат (y-координат).
2. Проверим знаки ординат точек \(C\) и \(D\): \[ C(1; -6) \quad \text{и} \quad D(-7; 2) \] Знаки ординат разные: \(-6\) и \(2\).
3. Следовательно, отрезок \(CD\) пересекает ось \(Ox\).
4. Определим, пересекает ли отрезок \(CD\) ось \(Oy\). Ось \(Oy\) пересекается, если у точек \(C\) и \(D\) разные знаки абсцисс (x-координат).
5. Проверим знаки абсцисс точек \(C\) и \(D\): \[ C(1; -6) \quad \text{и} \quad D(-7; 2) \] Знаки абсцисс разные: \(1\) и \(-7\).
6. Следовательно, отрезок \(CD\) пересекает ось \(Oy\).

Ответ: NaN

Решение №40270: Для решения задачи о нахождении абсциссы точки \(А\), если середина отрезка \(АВ\) лежит на оси ординат и абсцисса точки \(В\) равна 12, выполним следующие шаги:

1. Запишем координаты точек \(А\) и \(В\): \[ A(x_A, y_A), \quad B(12, y_B) \] Где \(x_A\) — абсцисса точки \(А\), \(y_A\) — ордината точки \(А\), \(y_B\) — ордината точки \(В\).
2. Середина отрезка \(АВ\) лежит на оси ординат, следовательно, её абсцисса равна 0. Найдём координаты середины отрезка \(АВ\): \[ \text{Середина отрезка } AB = \left( \frac{x_A + 12}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \]
3. Поскольку середина отрезка лежит на оси ординат, её абсцисса равна 0: \[ \frac{x_A + 12}{2} = 0 \]
4. Решим уравнение для нахождения \(x_A\): \[ x_A + 12 = 0 \implies x_A = -12 \]

Ответ: NaN

Решение №40271: Для решения задачи выполним следующие шаги: ### Часть а) 1. **Запишем координаты точек:** - Точка \(A(x_1; 3)\) - Точка \(C(x_2; 3)\) 2. **Определим, что точка \(C\) является серединой отрезка \(AB\):** - Поскольку \(C\) - середина отрезка \(AB\), координаты точки \(C\) должны быть средними между координатами точек \(A\) и \(B\). 3. **Найдем координаты точки \(B\):** - Пусть координаты точки \(B\) будут \((x_3; y_3)\). - Поскольку \(C\) - середина отрезка \(AB\), координаты точки \(C\) можно выразить через координаты точек \(A\) и \(B\): \[ x_2 = \frac{x_1 + x_3}{2} \] \[ 3 = \frac{3 + y_3}{2} \] 4. **Решим уравнения для координат точки \(B\):** - Для абсциссы: \[ x_2 = \frac{x_1 + x_3}{2} \implies x_3 = 2x_2 - x_1 \] - Для ординаты: \[ 3 = \frac{3 + y_3}{2} \implies 6 = 3 + y_3 \implies y_3 = 3 \] 5. **Вывод:** - Ордината точки \(B\) равна 3. - Отрезок \(AB\) параллелен оси абсцисс, так как ординаты точек \(A\), \(C\) и \(B\) одинаковы. ### Часть б) 1. **Запишем координаты точек:** - Точка \(C(-1; y_1)\) - Точка \(B(-1; y_2)\) 2. **Определим, что точка \(C\) является серединой отрезка \(AB\):** - Поскольку \(C\) - середина отрезка \(AB\), координаты точки \(C\) должны быть средними между координатами точек \(A\) и \(B\). 3. **Найдем координаты точки \(A\):** - Пусть координаты точки \(A\) будут \((x_4; y_4)\). - Поскольку \(C\) - середина отрезка \(AB\), координаты точки \(C\) можно выразить через координаты точек \(A\) и \(B\): \[ -1 = \frac{x_4 - 1}{2} \] \[ y_1 = \frac{y_4 + y_2}{2} \] 4. **Решим уравнения для координат точки \(A\):** - Для абсциссы: \[ -1 = \frac{x_4 - 1}{2} \implies -2 = x_4 - 1 \implies x_4 = -1 \] - Для ординаты: \[ y_1 = \frac{y_4 + y_2}{2} \implies y_4 = 2y_1 - y_2 \] 5. **Вывод:** - Абсцисса точки \(A\) равна -1. - Отрезок \(AB\) параллелен оси ординат, так как абсциссы точек \(A\), \(C\) и \(B\) одинаковы. Таким образом, решение задачи:

1. Ордината точки \(B\) равна 3.
2. Абсцисса точки \(A\) равна -1.
3. Отрезок \(AB\) параллелен оси абсцисс в первом случае и оси ординат во втором случае.

Ответ: NaN

Решение №40272: Для решения задачи о том, могут ли абсциссы или ординаты точек \(A\) и \(B\) отличаться на заданные значения, выполним следующие шаги: ### Часть а) Абсциссы точек \(A\) и \(B\) отличаются на 7

1. Запишем координаты точек \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\).
2. Длина отрезка \(AB\) равна 5, поэтому используем формулу расстояния между двумя точками: \[ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = 5 \]
3. Если абсциссы точек \(A\) и \(B\) отличаются на 7, то: \[ |x_2 - x_1| = 7 \]
4. Подставим это значение в формулу расстояния: \[ \sqrt{7^2 + (y_2 - y_1)^2} = 5 \]
5. Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ 7^2 + (y_2 - y_1)^2 = 5^2 \]
6. Упростим уравнение: \[ 49 + (y_2 - y_1)^2 = 25 \]
7. Вычтем 49 из обеих частей уравнения: \[ (y_2 - y_1)^2 = -24 \]
8. Поскольку квадрат числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет решений. Следовательно, абсциссы точек \(A\) и \(B\) не могут отличаться на 7.

1. Запишем координаты точек \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\).
2. Длина отрезка \(AB\) равна 5, поэтому используем формулу расстояния между двумя точками: \[ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = 5 \]
3. Если ординаты точек \(A\) и \(B\) отличаются на 5, то: \[ |y_2 - y_1| = 5 \]
4. Подставим это значение в формулу расстояния: \[ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + 5^2} = 5 \]
5. Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ (x_2 - x_1)^2 + 25 = 25 \]
6. Упростим уравнение: \[ (x_2 - x_1)^2 = 0 \]
7. Следовательно: \[ x_2 - x_1 = 0 \] Это означает, что \(x_2 = x_1\), то есть абсциссы точек \(A\) и \(B\) равны.
8. Таким образом, ординаты точек \(A\) и \(B\) могут отличаться на 5, если абсциссы точек \(A\) и \(B\) равны.

Ответ: NaN

Решение №40273: Для решения задачи по изображению геометрического места точек \(M(x, y)\), удовлетворяющих условиям, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим условие \(x \geq -3\):
   • Это условие означает, что все точки будут находиться в правой полуплоскости, включая линию \(x = -3\).
   • На координатной плоскости это будет выглядеть как область, включающая и лежащую справа от вертикальной линии \(x = -3\).
2. Рассмотрим условие \(y \leq 1\):
   • Это условие означает, что все точки будут находиться в нижней полуплоскости, включая линию \(y = 1\).
   • На координатной плоскости это будет выглядеть как область, включающая и лежащую ниже горизонтальной линии \(y = 1\).
3. Рассмотрим систему условий: \[ \begin{cases} x = y, \\ |x| < 2. \end{cases} \]
   • Уравнение \(x = y\) представляет собой биссектрису первого и третьего квадрантов.
   • Условие \(|x| < 2\) означает, что \(x\) находится в интервале \((-2, 2)\).
   • Следовательно, \(y\) также находится в интервале \((-2, 2)\).
   • На координатной плоскости это будет выглядеть как отрезок биссектрисы от точки \((-2, -2)\) до точки \((2, 2)\), не включая эти точки.

Ответ: NaN

Решение №40274: Для решения задачи Через точку \(С(-3; 4)\) проведите прямые, параллельные осям координат. Опишите с помощью неравенств условия, которым удовлетворяют все внутренние точки прямоугольника, образованного этими прямыми и осями координат выполним следующие шаги:

1. Определим координаты точки \(C\): \[ C(-3; 4) \]
2. Проведем прямую, параллельную оси \(OX\), через точку \(C\). Эта прямая будет иметь уравнение: \[ y = 4 \]
3. Проведем прямую, параллельную оси \(OY\), через точку \(C\). Эта прямая будет иметь уравнение: \[ x = -3 \]
4. Определим границы прямоугольника, образованного этими прямыми и осями координат:
   • Горизонтальная прямая \(y = 4\) проходит выше оси \(OX\).
   • Вертикальная прямая \(x = -3\) проходит левее оси \(OY\).
5. Определим неравенства, которым удовлетворяют все внутренние точки прямоугольника:
   • По горизонтали: \(0 \leq y \leq 4\)
   • По вертикали: \(-3 \leq x \leq 0\)
6. Запишем систему неравенств, описывающую внутренние точки прямоугольника: \[ \begin{cases} 0 \leq y \leq 4 \\ -3 \leq x \leq 0 \end{cases} \]

Ответ: NaN

Решение №40275: Для нахождения координат середины отрезка \(AB\) нужно использовать формулы для координат середины отрезка, которые задаются точками \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\): \[ x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_M = \frac{y_1 + y_2}{2} \] где \(M\) — середина отрезка \(AB\). Рассмотрим каждый случай отдельно: ### а) \(А(-12; -3)\), \(В(-8; 1)\)

1. Запишем координаты точек \(A\) и \(B\): \[ A(-12, -3), \quad B(-8, 1) \]
2. Подставим координаты в формулы для нахождения середины отрезка: \[ x_M = \frac{-12 + (-8)}{2}, \quad y_M = \frac{-3 + 1}{2} \]
3. Выполним арифметические операции: \[ x_M = \frac{-20}{2} = -10, \quad y_M = \frac{-2}{2} = -1 \]
4. Запишем координаты середины отрезка \(AB\): \[ M(-10, -1) \]

1. Запишем координаты точек \(A\) и \(B\): \[ A(4, -11), \quad B(-4, 0) \]
2. Подставим координаты в формулы для нахождения середины отрезка: \[ x_M = \frac{4 + (-4)}{2}, \quad y_M = \frac{-11 + 0}{2} \]
3. Выполним арифметические операции: \[ x_M = \frac{0}{2} = 0, \quad y_M = \frac{-11}{2} = -5.5 \]
4. Запишем координаты середины отрезка \(AB\): \[ M(0, -5.5) \]

1. Запишем координаты точек \(A\) и \(B\): \[ A(-2, 9), \quad B(-2, -7) \]
2. Подставим координаты в формулы для нахождения середины отрезка: \[ x_M = \frac{-2 + (-2)}{2}, \quad y_M = \frac{9 + (-7)}{2} \]
3. Выполним арифметические операции: \[ x_M = \frac{-4}{2} = -2, \quad y_M = \frac{2}{2} = 1 \]
4. Запишем координаты середины отрезка \(AB\): \[ M(-2, 1) \]

Ответ: NaN

Решение №40276: ### а) Найдите координаты точки \(В\), если \(А(2; -3)\), \(С(0,5; 1)\):

1. Запишем координаты точек \(A\) и \(C\): \[ A(2; -3), \quad C(0,5; 1) \]
2. Поскольку точка \(C\) является серединой отрезка \(AB\), координаты точки \(C\) находятся как среднее арифметическое координат точек \(A\) и \(B\): \[ C\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right) \]
3. Подставим координаты точек \(A\) и \(C\) в формулу: \[ 0,5 = \frac{2 + x_B}{2}, \quad 1 = \frac{-3 + y_B}{2} \]
4. Решим уравнение для \(x_B\): \[ 0,5 = \frac{2 + x_B}{2} \implies 1 = 2 + x_B \implies x_B = -1 \]
5. Решим уравнение для \(y_B\): \[ 1 = \frac{-3 + y_B}{2} \implies 2 = -3 + y_B \implies y_B = 5 \]
6. Таким образом, координаты точки \(B\) равны: \[ B(-1; 5) \]

1. Запишем координаты точек \(C\) и \(B\): \[ C(0; -1), \quad B(3; -3) \]
2. Поскольку точка \(C\) является серединой отрезка \(AB\), координаты точки \(C\) находятся как среднее арифметическое координат точек \(A\) и \(B\): \[ C\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right) \]
3. Подставим координаты точек \(C\) и \(B\) в формулу: \[ 0 = \frac{x_A + 3}{2}, \quad -1 = \frac{y_A - 3}{2} \]
4. Решим уравнение для \(x_A\): \[ 0 = \frac{x_A + 3}{2} \implies 0 = x_A + 3 \implies x_A = -3 \]
5. Решим уравнение для \(y_A\): \[ -1 = \frac{y_A - 3}{2} \implies -2 = y_A - 3 \implies y_A = 1 \]
6. Таким образом, координаты точки \(A\) равны: \[ A(-3; 1) \]

Ответ: а) \(В(-1; 5)\); б) \(А(-3; 1)\).

Решение №40277: Для решения задачи найдем координаты точек \(E\) и \(D\) в соответствии с условиями задачи. ### Часть а) Найти координаты точки \(E\), если \(C(18; -2)\), \(D(6; 4)\):

1. Запишем координаты точек \(C\) и \(D\): \[ C(18; -2), \quad D(6; 4) \]
2. Точка \(E\) является серединой отрезка \(CD\). Для нахождения координат точки \(E\) воспользуемся формулами для нахождения координат середины отрезка: \[ E_x = \frac{C_x + D_x}{2}, \quad E_y = \frac{C_y + D_y}{2} \]
3. Подставим координаты точек \(C\) и \(D\) в формулы: \[ E_x = \frac{18 + 6}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] \[ E_y = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
4. Таким образом, координаты точки \(E\) будут: \[ E(12; 1) \]

1. Запишем координаты точек \(C\) и \(E\): \[ C(-5; 21), \quad E(0; 1) \]
2. Точка \(E\) является серединой отрезка \(CD\). Для нахождения координат точки \(D\) воспользуемся формулами для нахождения координат середины отрезка: \[ E_x = \frac{C_x + D_x}{2}, \quad E_y = \frac{C_y + D_y}{2} \]
3. Выразим координаты точки \(D\) через координаты точек \(C\) и \(E\): \[ D_x = 2E_x - C_x, \quad D_y = 2E_y - C_y \]
4. Подставим координаты точек \(C\) и \(E\) в формулы: \[ D_x = 2 \cdot 0 - (-5) = 5 \] \[ D_y = 2 \cdot 1 - 21 = 2 - 21 = -19 \]
5. Таким образом, координаты точки \(D\) будут: \[ D(5; -19) \]

Ответ: а) \(Е(12; 1)\); б) \(D(5; -19)\).

Решение №40278: ### а) Найдите координаты четвертой вершины параллелограмма \(ABCD\), если \(А(2; 6)\), \(В(4; 7)\), \(С(8; 10)\).

1. Запишем координаты известных вершин: \[ A(2, 6), \quad B(4, 7), \quad C(8, 10) \]
2. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, вектор \(\overrightarrow{AB}\) равен вектору \(\overrightarrow{DC}\).
3. Вычислим вектор \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 2, 7 - 6) = (2, 1) \]
4. Вычислим вектор \(\overrightarrow{DC}\): \[ \overrightarrow{DC} = C - D = (8 - x_D, 10 - y_D) \]
5. Приравняем векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\): \[ (2, 1) = (8 - x_D, 10 - y_D) \]
6. Решим систему уравнений: \[ 8 - x_D = 2 \quad \text{и} \quad 10 - y_D = 1 \]
7. Найдем координаты вершины \(D\): \[ x_D = 8 - 2 = 6 \] \[ y_D = 10 - 1 = 9 \]
8. Таким образом, координаты вершины \(D\) равны: \[ D(6, 9) \]

1. Запишем координаты известных вершин: \[ B(-1, 4), \quad C(3, 5), \quad D(1, 3) \]
2. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, вектор \(\overrightarrow{BC}\) равен вектору \(\overrightarrow{AD}\).
3. Вычислим вектор \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (3 - (-1), 5 - 4) = (4, 1) \]
4. Вычислим вектор \(\overrightarrow{AD}\): \[ \overrightarrow{AD} = D - A = (1 - x_A, 3 - y_A) \]
5. Приравняем векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AD}\): \[ (4, 1) = (1 - x_A, 3 - y_A) \]
6. Решим систему уравнений: \[ 1 - x_A = 4 \quad \text{и} \quad 3 - y_A = 1 \]
7. Найдем координаты вершины \(A\): \[ x_A = 1 - 4 = -3 \] \[ y_A = 3 - 1 = 2 \]
8. Таким образом, координаты вершины \(A\) равны: \[ A(-3, 2) \]

Ответ: а) \(D(6; 9)\); б) \(А(-3; 2)\).

Решение №40279: Для доказательства того, что четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом, необходимо показать, что его противоположные стороны равны и параллельны.

1. Запишем координаты точек: \[ A(-4, 0), \quad B(-2, -2), \quad C(0, -6), \quad D(-2, -4) \]
2. Найдем векторы сторон четырехугольника:
   • Вектор \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - (-4), -2 - 0) = (2, -2) \]
   • Вектор \(\overrightarrow{DC}\): \[ \overrightarrow{DC} = C - D = (0 - (-2), -6 - (-4)) = (2, -2) \]
   • Вектор \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (0 - (-2), -6 - (-2)) = (2, -4) \]
   • Вектор \(\overrightarrow{DA}\): \[ \overrightarrow{DA} = A - D = (-4 - (-2), 0 - (-4)) = (-2, 4) \]
3. Сравним векторы противоположных сторон:
   • Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\): \[ \overrightarrow{AB} = (2, -2), \quad \overrightarrow{DC} = (2, -2) \] Они равны.
   • Векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{DA}\): \[ \overrightarrow{BC} = (2, -4), \quad \overrightarrow{DA} = (-2, 4) \] Они противоположны, так как \(\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{DA}\).
4. Сделаем вывод: Поскольку противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом.

Ответ: NaN