Решение №44874: а) \(см^{2}\), \(см^{3}\); б) см, \(см^{2}\); в) см, \(см^{3}\)

Ответ: а) \(64\pi\), \(\frac{256}{3}\pi\); б) \(\approx 3\), \(\approx 36\pi\); в) 4, \(\frac{256}{3}\pi\)

Решение №44875: Для решения задачи о сравнении объемов Луны и Земли, считая их шарами, выполним следующие шаги:

1. Обозначим диаметр Земли как \(D\). Тогда диаметр Луны будет \(\frac{D}{4}\).
2. Объем шара вычисляется по формуле: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \] где \(r\) — радиус шара.
3. Радиус Земли \(R\) равен половине диаметра Земли: \[ R = \frac{D}{2} \] Радиус Луны \(r\) равен половине диаметра Луны: \[ r = \frac{\frac{D}{4}}{2} = \frac{D}{8} \]
4. Объем Земли \(V_Z\) вычисляется как: \[ V_Z = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{D}{2}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{D^3}{8}\right) = \frac{4}{3} \pi \frac{D^3}{8} = \frac{\pi D^3}{6} \]
5. Объем Луны \(V_L\) вычисляется как: \[ V_L = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{D}{8}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{D^3}{512}\right) = \frac{4}{3} \pi \frac{D^3}{512} = \frac{\pi D^3}{384} \]
6. Сравним объемы Луны и Земли, найдя отношение \(\frac{V_L}{V_Z}\): \[ \frac{V_L}{V_Z} = \frac{\frac{\pi D^3}{384}}{\frac{\pi D^3}{6}} = \frac{\pi D^3}{384} \cdot \frac{6}{\pi D^3} = \frac{6}{384} = \frac{1}{64} \]

Таким образом, объем Луны составляет \(\frac{1}{64}\) от объема Земли. Ответ: Объем Луны составляет \(\frac{1}{64}\) от объема Земли.

Ответ: Объем Земли в 64 раза больше объема Луны.

Решение №44876: где \(H\) - высота цилиндра, \(R\) - радиус шара.

Ответ: \(H=\frac{4}{3}R\)

Решение №44877: Нет

Ответ: NaN

Решение №44878: Уровень воды повысится на \(\frac{32}{75}\) см

Ответ: NaN

Решение №44879: \(м^{3}\)

Ответ: \(]frac{942}{125}\pi\)

Решение №44880: Для решения задачи о том, как относится объем общей части двух шаров к объему одного шара, выполним следующие шаги:

1. Определим радиусы шаров: Пусть радиус каждого шара равен \( R \).
2. Определим объем одного шара: Объем одного шара \( V \) можно найти по формуле объема шара: \[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \]
3. Определим объем общей части: Общая часть двух шаров, центр одного из которых лежит на поверхности другого, представляет собой пересечение двух сфер. Объем общей части \( V_{\text{общ}} \) можно найти по формуле для объема пересечения двух сфер: \[ V_{\text{общ}} = \frac{2}{3} \pi R^3 - \frac{1}{4} \pi R^3 = \frac{5}{12} \pi R^3 \]
4. Найдем отношение объема общей части к объему одного шара: Отношение объема общей части к объему одного шара равно: \[ \frac{V_{\text{общ}}}{V} = \frac{\frac{5}{12} \pi R^3}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{5}{12} \div \frac{4}{3} = \frac{5}{12} \cdot \frac{3}{4} = \frac{5}{16} \]

Таким образом, отношение объема общей части шаров к объему одного шара равно \(\frac{5}{16}\). Ответ: \(\frac{5}{16}\)

Ответ: 5:16

Решение №44881: \(см^{3}\)

Ответ: \(58 500 \pi\) или \(504 000 \pi\)

Решение №44882: Для решения задачи о нахождении объема шарового слоя, образованного делением диаметра шара на три равные части и проведением плоскостей, перпендикулярных к диаметру, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: Диаметр шара делится на три равные части, и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Радиус шара равен \(R\).
2. Определим координаты точек деления диаметра: Пусть диаметр шара равен \(2R\). Тогда точки деления будут на расстояниях \(\frac{2R}{3}\) и \(\frac{4R}{3}\) от центра шара.
3. Определим радиусы сфер, образованных плоскостями: Радиусы сфер будут \(\frac{R}{3}\) и \(\frac{2R}{3}\).
4. Вычислим объем шарового слоя: Объем шарового слоя равен разности объемов двух сфер. Объем сферы радиуса \(r\) определяется формулой: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \] для радиуса \( \frac{2R}{3} \): \[ V_1 = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{2R}{3} \right)^3 = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{8R^3}{27} \right) = \frac{32 \pi R^3}{81} \] для радиуса \( \frac{R}{3} \): \[ V_2 = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{R}{3} \right)^3 = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{R^3}{27} \right) = \frac{4 \pi R^3}{81} \]
5. Найдем объем шарового слоя: \[ V_{\text{слоя}} = V_1 - V_2 = \frac{32 \pi R^3}{81} - \frac{4 \pi R^3}{81} = \frac{28 \pi R^3}{81} \]

Таким образом, объем получившегося шарового слоя равен: \[ \boxed{\frac{28 \pi R^3}{81}} \]

Ответ: \(\frac{52}{81}\pi R_{3}\)

Решение №44883: \(см^{3}\)

Ответ: \(252 \pi\) и \(720 \pi\)

Решение №44884: \(см^{3}\)

Ответ: \(112 500 \pi\)

Решение №44885: Для решения задачи о нахождении объема шарового сектора, образованного вращением кругового сектора с углом \(30^{\circ}\) и радиусом \(R\) вокруг одного из ограничивающих его радиусов, выполним следующие шаги:

1. Определим площадь кругового сектора с углом \(30^{\circ}\) и радиусом \(R\).
2. Найдем объем шарового сектора, используя формулу для объема вращения плоской фигуры.

1. Площадь кругового сектора

1. Площадь кругового сектора с углом \(\theta\) (в радианах) и радиусом \(R\) определяется формулой: \[ S = \frac{1}{2} R^2 \theta \]
2. Преобразуем угол \(30^{\circ}\) в радианы: \[ \theta = 30^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{6} \]
3. Подставим \(\theta\) в формулу для площади: \[ S = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi R^2}{12} \]

2. Объем шарового сектора

1. Объем шарового сектора, образованного вращением кругового сектора вокруг одного из ограничивающих его радиусов, можно найти по формуле: \[ V = \frac{2}{3} \pi R^2 h \] где \(h\) — высота шарового сектора.
2. Высота шарового сектора \(h\) равна радиусу \(R\), так как сектор вращается вокруг одного из своих радиусов.
3. Подставим \(h = R\) в формулу для объема: \[ V = \frac{2}{3} \pi R^2 \cdot R = \frac{2}{3} \pi R^3 \]
4. Теперь подставим площадь кругового сектора \(S = \frac{\pi R^2}{12}\) в формулу для объема: \[ V = \frac{2}{3} \pi R^2 \cdot \frac{R}{2} = \frac{2}{3} \pi R^3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi R^3}{3} \]

Таким образом, объем шарового сектора, образованного вращением кругового сектора с углом \(30^{\circ}\) и радиусом \(R\) вокруг одного из ограничивающих его радиусов, равен: \[ \boxed{\frac{\pi R^3}{3}} \]

Ответ: \(\frac{2-\sqrt{3}}{3}\pi R^{3}\)

Решение №44886: Для решения задачи о том, сколько квадратных километров земной поверхности занимает суша, выполним следующие шаги:

1. Найдем площадь поверхности Земли, используя формулу для площади сферы: \[ S = 4 \pi R^2 \] где \(R\) — радиус Земли.
2. Подставим значение радиуса Земли \(R = 6375\) км: \[ S = 4 \pi (6375)^2 \]
3. Вычислим площадь поверхности Земли: \[ S = 4 \pi (6375)^2 \approx 4 \pi (40600625) \approx 510100000 \pi \approx 510100000 \times 3.14159 \approx 160000000 \text{ км}^2 \]
4. Поскольку вода покрывает приблизительно \(\frac{3}{4}\) земной поверхности, то суша занимает \(\frac{1}{4}\) земной поверхности. Вычислим площадь суши: \[ \text{Площадь суши} = \frac{1}{4} \times \text{Площадь поверхности Земли} \]
5. Подставим площадь поверхности Земли: \[ \text{Площадь суши} = \frac{1}{4} \times 160000000 \approx 40000000 \text{ км}^2 \]

Таким образом, площадь суши составляет приблизительно \(40000000 \text{ км}^2\). Ответ: \(40000000 \text{ км}^2\)

Ответ: \(6375^{2}\pi \approx 1,28\cdot 10^{8} км^{2}=128\cdot 10^{6} км^{2}\)

Решение №44887: \(см^{3}\)

Ответ: \(432\pi \approx 1357\)

Решение №44888: Для доказательства того, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса, выполним следующие шаги:

1. Запишем формулы для площадей поверхностей сферы и конуса.
2. Площадь поверхности сферы радиуса \(R\) равна: \[ S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2 \]
3. Площадь полной поверхности конуса, где \(S_{\text{осн}}\) — площадь основания, \(S_{\text{бок}}\) — площадь боковой поверхности, радиус основания \(r\), высота \(h\) и образующая \(l\), равна: \[ S_{\text{конуса}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = \pi r^2 + \pi r l \]
4. По условию задачи высота конуса \(h\) равна диаметру сферы, то есть: \[ h = 2R \]
5. Также по условию диаметр основания конуса равен образующей конуса, то есть: \[ l = 2r \]
6. Подставим \(l = 2r\) в формулу площади боковой поверхности конуса: \[ S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi r (2r) = 2\pi r^2 \]
7. Теперь площадь полной поверхности конуса будет: \[ S_{\text{конуса}} = \pi r^2 + 2\pi r^2 = 3\pi r^2 \]
8. Используем теорему Пифагора для конуса, где \(h\) — высота, \(r\) — радиус основания, \(l\) — образующая: \[ h^2 + r^2 = l^2 \] Подставим \(h = 2R\) и \(l = 2r\): \[ (2R)^2 + r^2 = (2r)^2 \] \[ 4R^2 + r^2 = 4r^2 \] \[ 4R^2 = 3r^2 \] \[ r^2 = \frac{4}{3}R^2 \]
9. Подставим \(r^2 = \frac{4}{3}R^2\) в формулу площади полной поверхности конуса: \[ S_{\text{конуса}} = 3\pi r^2 = 3\pi \left(\frac{4}{3}R^2\right) = 4\pi R^2 \]
10. Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна площади поверхности сферы: \[ S_{\text{конуса}} = S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2 \]

Таким образом, доказано, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.

Ответ: NaN

Решение №45664: 2) Бесконечное множество осей симметрии и бесконечное множество плоскостей симметрии.

Ответ: NaN

Решение №45665: Окружностью

Ответ: NaN

Решение №45666: \(A\) и \(D\)

Ответ: NaN

Решение №45667: Для решения задачи о нахождении координат точек пересечения сферы \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\) с осями координат выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение сферы: \[ x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2} \]
2. Найдем точки пересечения сферы с осью \(OX\). Для этого примем \(y = 0\) и \(z = 0\): \[ x^{2} + 0 + 0 = R^{2} \implies x^{2} = R^{2} \implies x = \pm R \] Таким образом, координаты точек пересечения с осью \(OX\) будут \((R, 0, 0)\) и \((-R, 0, 0)\).
3. Найдем точки пересечения сферы с осью \(OY\). Для этого примем \(x = 0\) и \(z = 0\): \[ 0 + y^{2} + 0 = R^{2} \implies y^{2} = R^{2} \implies y = \pm R \] Таким образом, координаты точек пересечения с осью \(OY\) будут \((0, R, 0)\) и \((0, -R, 0)\).
4. Найдем точки пересечения сферы с осью \(OZ\). Для этого примем \(x = 0\) и \(y = 0\): \[ 0 + 0 + z^{2} = R^{2} \implies z^{2} = R^{2} \implies z = \pm R \] Таким образом, координаты точек пересечения с осью \(OZ\) будут \((0, 0, R)\) и \((0, 0, -R)\).

Таким образом, координаты точек пересечения сферы \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\) с осями координат следующие: - Точки пересечения с осью \(OX\): \((R, 0, 0)\) и \((-R, 0, 0)\) - Точки пересечения с осью \(OY\): \((0, R, 0)\) и \((0, -R, 0)\) - Точки пересечения с осью \(OZ\): \((0, 0, R)\) и \((0, 0, -R)\)

Ответ: \((\pm R; 0; 0)\); \((0; \pm R; 0)\); (0; 0; \(\pm R\))

Решение №45668: Для решения задачи о нахождении координат точки пересечения сферы \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=200\) и прямой \(SO\), где \(S\) имеет координаты (3; 4; 5), выполним следующие шаги:

1. Определим параметрическое уравнение прямой \(SO\).
2. Подставим параметрическое уравнение прямой в уравнение сферы.
3. Решим полученное уравнение для нахождения параметра.
4. Найдем координаты точки пересечения.

1. Определим параметрическое уравнение прямой \(SO\):

Прямая \(SO\) проходит через точки \(S(3, 4, 5)\) и \(O(0, 0, 0)\). Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку \(S(3, 4, 5)\) и \(O(0, 0, 0)\), можно записать как: \[ \begin{cases} x = 3t \\ y = 4t \\ z = 5t \end{cases} \] где \(t\) — параметр.

2. Подставим параметрическое уравнение прямой в уравнение сферы:

Уравнение сферы: \[ x^2 + y^2 + z^2 = 200 \] Подставим \(x = 3t\), \(y = 4t\), \(z = 5t\): \[ (3t)^2 + (4t)^2 + (5t)^2 = 200 \]

3. Решим полученное уравнение для нахождения параметра \(t\):

Упростим уравнение: \[ 9t^2 + 16t^2 + 25t^2 = 200 \] Сложим коэффициенты: \[ 50t^2 = 200 \] Решим уравнение: \[ t^2 = \frac{200}{50} = 4 \] Таким образом, \(t = \pm 2\).

4. Найдем координаты точки пересечения:

Для \(t = 2\): \[ \begin{cases} x = 3 \cdot 2 = 6 \\ y = 4 \cdot 2 = 8 \\ z = 5 \cdot 2 = 10 \end{cases} \] Для \(t = -2\): \[ \begin{cases} x = 3 \cdot (-2) = -6 \\ y = 4 \cdot (-2) = -8 \\ z = 5 \cdot (-2) = -10 \end{cases} \] Таким образом, координаты точек пересечения сферы и прямой \(SO\) есть \((6, 8, 10)\) и \((-6, -8, -10)\). Ответ: \((6, 8, 10)\) и \((-6, -8, -10)\).

Ответ: (-6; -8; -10); (6; 8; 10)

Решение №45669: Для решения задачи о нахождении расстояния от точки \(A(3p, -2p, 6p)\) до сферы \(x^2 + y^2 + z^2 = p^2\) выполним следующие шаги:

1. Определим радиус сферы: \[ p^2 = p^2 \implies R = p \]
2. Найдем расстояние от начала координат до точки \(A(3p, -2p, 6p)\): \[ r = \sqrt{(3p)^2 + (-2p)^2 + (6p)^2} \]
3. Вычислим квадраты координат точки \(A\): \[ (3p)^2 = 9p^2 \] \[ (-2p)^2 = 4p^2 \] \[ (6p)^2 = 36p^2 \]
4. Сложим квадраты координат: \[ r = \sqrt{9p^2 + 4p^2 + 36p^2} = \sqrt{49p^2} = 7p \]
5. Поскольку точка \(A\) находится вне сферы (так как \(7p > p\)), расстояние от точки \(A\) до сферы равно разности расстояния от начала координат до точки \(A\) и радиуса сферы: \[ \text{Расстояние} = 7p - p = 6p \]

Таким образом, расстояние от точки \(A(3p, -2p, 6p)\) до сферы \(x^2 + y^2 + z^2 = p^2\) равно \(6p\). Ответ: \(6p\)

Ответ: \(6 p\)

Решение №45670: Для составления уравнения сферы с центром \(S\) и радиусом \(R\) воспользуемся формулой уравнения сферы: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] где \((a, b, c)\) — координаты центра сферы, а \(R\) — радиус сферы. Рассмотрим каждый случай по отдельности. ### 1. \(S (2; -1; 3)\), \(R = 4\)

1. Запишем координаты центра сферы: \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = 3\).
2. Радиус сферы \(R = 4\).
3. Подставим координаты центра и радиус в формулу уравнения сферы: \[ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 4^2 \]
4. Упростим уравнение: \[ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 16 \]

### 2. \(S (-5; 0; 7)\), \(R = \sqrt{3}\)

1. Запишем координаты центра сферы: \(a = -5\), \(b = 0\), \(c = 7\).
2. Радиус сферы \(R = \sqrt{3}\).
3. Подставим координаты центра и радиус в формулу уравнения сферы: \[ (x + 5)^2 + (y - 0)^2 + (z - 7)^2 = (\sqrt{3})^2 \]
4. Упростим уравнение: \[ (x + 5)^2 + y^2 + (z - 7)^2 = 3 \]

Таким образом, уравнения сфер для данных случаев будут: 1. \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 16\) 2. \((x + 5)^2 + y^2 + (z - 7)^2 = 3\)

Ответ: 1) \(\left ( x-2 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}+\left ( z-3 \right )^{2}=16\); 2) \(\left ( x+5 \right )^{2}+y^{2}+\left ( z-7 \right )^{2}=3\)

Решение №45671: Для решения задачи будем использовать свойства сферы и теоремы о сечениях. ### 1) Докажите, что сечения сферы, одинаково удаленные от ее центра, имеют равные радиусы.

1. Рассмотрим сферу с центром \(O\) и радиусом \(R\).
2. Пусть \(P_1\) и \(P_2\) — две плоскости, одинаково удаленные от центра сферы \(O\). Расстояние от центра сферы до каждой из этих плоскостей обозначим как \(d\).
3. Сечение сферы плоскостью \(P_1\) дает круг с радиусом \(r_1\), а сечение плоскостью \(P_2\) дает круг с радиусом \(r_2\).
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром сферы \(O\), центром круга сечения и точкой на окружности сечения. Пусть \(A_1\) и \(A_2\) — центры кругов сечений плоскостями \(P_1\) и \(P_2\) соответственно.
5. Для плоскости \(P_1\) имеем: \[ OA_1 = d, \quad OC = R \] где \(C\) — точка на окружности сечения плоскостью \(P_1\).
6. Применим теорему Пифагора для треугольника \(OCA_1\): \[ r_1^2 = R^2 - d^2 \]
7. Аналогично, для плоскости \(P_2\) имеем: \[ OA_2 = d, \quad OC = R \] где \(C\) — точка на окружности сечения плоскостью \(P_2\).
8. Применим теорему Пифагора для треугольника \(OCA_2\): \[ r_2^2 = R^2 - d^2 \]
9. Следовательно, \(r_1 = r_2\), так как \(r_1^2 = r_2^2\).

### 2) Докажите, что из двух сечений сферы больший радиус имеет то сечение, плоскость которого ближе к центру сферы.

1. Рассмотрим сферу с центром \(O\) и радиусом \(R\).
2. Пусть \(P_1\) и \(P_2\) — две плоскости, удаленные от центра сферы \(O\) на расстояния \(d_1\) и \(d_2\) соответственно, где \(d_1 < d_2\).
3. Сечение сферы плоскостью \(P_1\) дает круг с радиусом \(r_1\), а сечение плоскостью \(P_2\) дает круг с радиусом \(r_2\).
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром сферы \(O\), центром круга сечения и точкой на окружности сечения. Пусть \(A_1\) и \(A_2\) — центры кругов сечений плоскостями \(P_1\) и \(P_2\) соответственно.
5. Для плоскости \(P_1\) имеем: \[ OA_1 = d_1, \quad OC = R \] где \(C\) — точка на окружности сечения плоскостью \(P_1\).
6. Применим теорему Пифагора для треугольника \(OCA_1\): \[ r_1^2 = R^2 - d_1^2 \]
7. Аналогично, для плоскости \(P_2\) имеем: \[ OA_2 = d_2, \quad OC = R \] где \(C\) — точка на окружности сечения плоскостью \(P_2\).
8. Применим теорему Пифагора для треугольника \(OCA_2\): \[ r_2^2 = R^2 - d_2^2 \]
9. Так как \(d_1 < d_2\), то \(d_1^2 < d_2^2\), следовательно, \(R^2 - d_1^2 > R^2 - d_2^2\).
10. Таким образом, \(r_1^2 > r_2^2\), и следовательно, \(r_1 > r_2\).

Таким образом, доказано, что из двух сечений сферы больший радиус имеет то сечение, плоскость которого ближе к центру сферы.

Ответ: NaN

Решение №45672: 1) \(O_{1}\) (0; 0; 0), \(r=2\); 2) \(O_{1}\) (0; 1; 0), \(r=\sqrt{3}\); 3) \(O_{1}\) \((\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3})\), \(r=\sqrt{\frac{8}{3}}\)

Ответ: NaN

Решение №45673: 1) Точка; 2) \(\varnothing \); 3) окружность; 4) окружность; 5) \(\varnothing \)

Ответ: NaN

Решение №45674: Указание. Выберите прямоугольную систему координат так, чтобы начало координат совпало с центром одной из сфер, а ось ординат проходила через центр другой сферы. В таком случае уравнения данных сфер имеют вид: \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=R_{1}^{2}\) (1), \(x^{2}+\left ( y-d \right )^{2}+z^{2}=R_{2}^{2}\) (2). Здесь \(d\) - расстояние между центрами сфер. Система, составленная из уравнений (1) и (2), задает пересечение данных сфер. Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получим: \(2dy=R_{1}^{2}-R_{2}^{2}+d^{2}\) (3). Уравнения (3) и (1) образзуют систему, равносильную системе, составленной из уравнений (1) и (2). Поэтому полученная и данная системы уравнений задают одно и то же пересечение. По условию задачи это пересечение не пусто. Согласно теореме 36 пересечение плоскости (3) и сферы (1) есть окружность или точка. Плоскость (3) перпендикулярна оси ординат, т.е. она перпендикулярна прямой, проходящей через центры данных сфер.

Ответ: NaN

Решение №45675: 1) Экватор; 2) \(\approx 15 000\) км

Ответ: NaN

Решение №45676: 1) Нет; 2) \(\approx 27,0\) см

Ответ: NaN

Решение №45677: 1) Одну; 2) бесконечное множество

Ответ: NaN

Решение №45678: 1) Бесконечное множество; 2) бесконечное множество или ни одной.

Ответ: NaN