Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, площадь сферы,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.

Ответ

NaN

Решение № 44888:

Для доказательства того, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса, выполним следующие шаги:

1. Запишем формулы для площадей поверхностей сферы и конуса.
2. Площадь поверхности сферы радиуса \(R\) равна: \[ S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2 \]
3. Площадь полной поверхности конуса, где \(S_{\text{осн}}\) — площадь основания, \(S_{\text{бок}}\) — площадь боковой поверхности, радиус основания \(r\), высота \(h\) и образующая \(l\), равна: \[ S_{\text{конуса}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = \pi r^2 + \pi r l \]
4. По условию задачи высота конуса \(h\) равна диаметру сферы, то есть: \[ h = 2R \]
5. Также по условию диаметр основания конуса равен образующей конуса, то есть: \[ l = 2r \]
6. Подставим \(l = 2r\) в формулу площади боковой поверхности конуса: \[ S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi r (2r) = 2\pi r^2 \]
7. Теперь площадь полной поверхности конуса будет: \[ S_{\text{конуса}} = \pi r^2 + 2\pi r^2 = 3\pi r^2 \]
8. Используем теорему Пифагора для конуса, где \(h\) — высота, \(r\) — радиус основания, \(l\) — образующая: \[ h^2 + r^2 = l^2 \] Подставим \(h = 2R\) и \(l = 2r\): \[ (2R)^2 + r^2 = (2r)^2 \] \[ 4R^2 + r^2 = 4r^2 \] \[ 4R^2 = 3r^2 \] \[ r^2 = \frac{4}{3}R^2 \]
9. Подставим \(r^2 = \frac{4}{3}R^2\) в формулу площади полной поверхности конуса: \[ S_{\text{конуса}} = 3\pi r^2 = 3\pi \left(\frac{4}{3}R^2\right) = 4\pi R^2 \]
10. Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна площади поверхности сферы: \[ S_{\text{конуса}} = S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2 \]

Таким образом, доказано, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.