Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, площадь сферы,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара равен \(R\).

Ответ

\(\frac{52}{81}\pi R_{3}\)

Решение № 44882:

Для решения задачи о нахождении объема шарового слоя, образованного делением диаметра шара на три равные части и проведением плоскостей, перпендикулярных к диаметру, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: Диаметр шара делится на три равные части, и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Радиус шара равен \(R\).
2. Определим координаты точек деления диаметра: Пусть диаметр шара равен \(2R\). Тогда точки деления будут на расстояниях \(\frac{2R}{3}\) и \(\frac{4R}{3}\) от центра шара.
3. Определим радиусы сфер, образованных плоскостями: Радиусы сфер будут \(\frac{R}{3}\) и \(\frac{2R}{3}\).
4. Вычислим объем шарового слоя: Объем шарового слоя равен разности объемов двух сфер. Объем сферы радиуса \(r\) определяется формулой: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \] для радиуса \( \frac{2R}{3} \): \[ V_1 = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{2R}{3} \right)^3 = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{8R^3}{27} \right) = \frac{32 \pi R^3}{81} \] для радиуса \( \frac{R}{3} \): \[ V_2 = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{R}{3} \right)^3 = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{R^3}{27} \right) = \frac{4 \pi R^3}{81} \]
5. Найдем объем шарового слоя: \[ V_{\text{слоя}} = V_1 - V_2 = \frac{32 \pi R^3}{81} - \frac{4 \pi R^3}{81} = \frac{28 \pi R^3}{81} \]

Таким образом, объем получившегося шарового слоя равен: \[ \boxed{\frac{28 \pi R^3}{81}} \]