Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, площадь сферы,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

1) Докажите, что сечение сферы, одинаково удаленные от ее центра, имеют равные радиусы. 2) Докажите, что из двух сечений сферы больший радиус имеет то сечение, плоскость которого ближе к центру сферы.

Ответ

NaN

Решение № 45671:

Для решения задачи будем использовать свойства сферы и теоремы о сечениях. ### 1) Докажите, что сечения сферы, одинаково удаленные от ее центра, имеют равные радиусы.

1. Рассмотрим сферу с центром \(O\) и радиусом \(R\).
2. Пусть \(P_1\) и \(P_2\) — две плоскости, одинаково удаленные от центра сферы \(O\). Расстояние от центра сферы до каждой из этих плоскостей обозначим как \(d\).
3. Сечение сферы плоскостью \(P_1\) дает круг с радиусом \(r_1\), а сечение плоскостью \(P_2\) дает круг с радиусом \(r_2\).
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром сферы \(O\), центром круга сечения и точкой на окружности сечения. Пусть \(A_1\) и \(A_2\) — центры кругов сечений плоскостями \(P_1\) и \(P_2\) соответственно.
5. Для плоскости \(P_1\) имеем: \[ OA_1 = d, \quad OC = R \] где \(C\) — точка на окружности сечения плоскостью \(P_1\).
6. Применим теорему Пифагора для треугольника \(OCA_1\): \[ r_1^2 = R^2 - d^2 \]
7. Аналогично, для плоскости \(P_2\) имеем: \[ OA_2 = d, \quad OC = R \] где \(C\) — точка на окружности сечения плоскостью \(P_2\).
8. Применим теорему Пифагора для треугольника \(OCA_2\): \[ r_2^2 = R^2 - d^2 \]
9. Следовательно, \(r_1 = r_2\), так как \(r_1^2 = r_2^2\).

### 2) Докажите, что из двух сечений сферы больший радиус имеет то сечение, плоскость которого ближе к центру сферы.

1. Рассмотрим сферу с центром \(O\) и радиусом \(R\).
2. Пусть \(P_1\) и \(P_2\) — две плоскости, удаленные от центра сферы \(O\) на расстояния \(d_1\) и \(d_2\) соответственно, где \(d_1 < d_2\).
3. Сечение сферы плоскостью \(P_1\) дает круг с радиусом \(r_1\), а сечение плоскостью \(P_2\) дает круг с радиусом \(r_2\).
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром сферы \(O\), центром круга сечения и точкой на окружности сечения. Пусть \(A_1\) и \(A_2\) — центры кругов сечений плоскостями \(P_1\) и \(P_2\) соответственно.
5. Для плоскости \(P_1\) имеем: \[ OA_1 = d_1, \quad OC = R \] где \(C\) — точка на окружности сечения плоскостью \(P_1\).
6. Применим теорему Пифагора для треугольника \(OCA_1\): \[ r_1^2 = R^2 - d_1^2 \]
7. Аналогично, для плоскости \(P_2\) имеем: \[ OA_2 = d_2, \quad OC = R \] где \(C\) — точка на окружности сечения плоскостью \(P_2\).
8. Применим теорему Пифагора для треугольника \(OCA_2\): \[ r_2^2 = R^2 - d_2^2 \]
9. Так как \(d_1 < d_2\), то \(d_1^2 < d_2^2\), следовательно, \(R^2 - d_1^2 > R^2 - d_2^2\).
10. Таким образом, \(r_1^2 > r_2^2\), и следовательно, \(r_1 > r_2\).

Таким образом, доказано, что из двух сечений сферы больший радиус имеет то сечение, плоскость которого ближе к центру сферы.