Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, площадь сферы,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Даны сферы \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=200\) и точка \(S\) (3; 4; 5). Найдите координаты точки пересечения этой сферы с прямой \(SO\) (\(O\)-начало координат).
Ответ
(-6; -8; -10); (6; 8; 10)
Решение № 45668:
Для решения задачи о нахождении координат точки пересечения сферы \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=200\) и прямой \(SO\), где \(S\) имеет координаты (3; 4; 5), выполним следующие шаги:
- Определим параметрическое уравнение прямой \(SO\).
- Подставим параметрическое уравнение прямой в уравнение сферы.
- Решим полученное уравнение для нахождения параметра.
- Найдем координаты точки пересечения.
1. Определим параметрическое уравнение прямой \(SO\):
Прямая \(SO\) проходит через точки \(S(3, 4, 5)\) и \(O(0, 0, 0)\). Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку \(S(3, 4, 5)\) и \(O(0, 0, 0)\), можно записать как:
\[
\begin{cases}
x = 3t \\
y = 4t \\
z = 5t
\end{cases}
\]
где \(t\) — параметр.
2. Подставим параметрическое уравнение прямой в уравнение сферы:
Уравнение сферы:
\[
x^2 + y^2 + z^2 = 200
\]
Подставим \(x = 3t\), \(y = 4t\), \(z = 5t\):
\[
(3t)^2 + (4t)^2 + (5t)^2 = 200
\]
3. Решим полученное уравнение для нахождения параметра \(t\):
Упростим уравнение:
\[
9t^2 + 16t^2 + 25t^2 = 200
\]
Сложим коэффициенты:
\[
50t^2 = 200
\]
Решим уравнение:
\[
t^2 = \frac{200}{50} = 4
\]
Таким образом, \(t = \pm 2\).
4. Найдем координаты точки пересечения:
Для \(t = 2\):
\[
\begin{cases}
x = 3 \cdot 2 = 6 \\
y = 4 \cdot 2 = 8 \\
z = 5 \cdot 2 = 10
\end{cases}
\]
Для \(t = -2\):
\[
\begin{cases}
x = 3 \cdot (-2) = -6 \\
y = 4 \cdot (-2) = -8 \\
z = 5 \cdot (-2) = -10
\end{cases}
\]
Таким образом, координаты точек пересечения сферы и прямой \(SO\) есть \((6, 8, 10)\) и \((-6, -8, -10)\).
Ответ: \((6, 8, 10)\) и \((-6, -8, -10)\).