Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, площадь сферы,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Круговой сектор с углом \(30^{\circ}\) и радиусом \(R\) вращается вокруг одного из ограничивающих его радиусов. Найдите объем получившегося шарового сектора.
Ответ
\(\frac{2-\sqrt{3}}{3}\pi R^{3}\)
Решение № 44885:
Для решения задачи о нахождении объема шарового сектора, образованного вращением кругового сектора с углом \(30^{\circ}\) и радиусом \(R\) вокруг одного из ограничивающих его радиусов, выполним следующие шаги:
- Определим площадь кругового сектора с углом \(30^{\circ}\) и радиусом \(R\).
- Найдем объем шарового сектора, используя формулу для объема вращения плоской фигуры.
1. Площадь кругового сектора
- Площадь кругового сектора с углом \(\theta\) (в радианах) и радиусом \(R\) определяется формулой:
\[
S = \frac{1}{2} R^2 \theta
\]
- Преобразуем угол \(30^{\circ}\) в радианы:
\[
\theta = 30^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{6}
\]
- Подставим \(\theta\) в формулу для площади:
\[
S = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi R^2}{12}
\]
2. Объем шарового сектора
- Объем шарового сектора, образованного вращением кругового сектора вокруг одного из ограничивающих его радиусов, можно найти по формуле:
\[
V = \frac{2}{3} \pi R^2 h
\]
где \(h\) — высота шарового сектора.
- Высота шарового сектора \(h\) равна радиусу \(R\), так как сектор вращается вокруг одного из своих радиусов.
- Подставим \(h = R\) в формулу для объема:
\[
V = \frac{2}{3} \pi R^2 \cdot R = \frac{2}{3} \pi R^3
\]
- Теперь подставим площадь кругового сектора \(S = \frac{\pi R^2}{12}\) в формулу для объема:
\[
V = \frac{2}{3} \pi R^2 \cdot \frac{R}{2} = \frac{2}{3} \pi R^3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi R^3}{3}
\]
Таким образом, объем шарового сектора, образованного вращением кругового сектора с углом \(30^{\circ}\) и радиусом \(R\) вокруг одного из ограничивающих его радиусов, равен:
\[
\boxed{\frac{\pi R^3}{3}}
\]