Решение №38305: По теореме Пифагора \(с^2 - ВН^2 = АН^2 = b^2 - (а - ВН)^2\). Поэтому \(BH = \frac{c^2-b^2+a^2}{2a}\).

Ответ: \(BH = \fraq{$c^2$-$b^2$+$a^2$}{2a}\)

Решение №38306: По теореме Пифагора \(с^2 - ВН^2 = АН^2 = b^2 - (а + ВН)^2\). Поэтому \(BH = \frac{b^2-a^2-c^2}{2a}\).

Ответ: \(BH = \fraq{$b^2$-$a^2$-$c^2$}{2a}\).

Решение №38307: Воспользуйтесь тем, что \(АН^2 = АВ^2 - ВН^2\) и выразите \(ВН\) по формулам из задач 16.1 и 16.2.

Ответ: NaN

Решение №38308: Пусть медианы, проведённые из вершин \(А\) и \(В\), равны \(3m\) и \(3n\). Тогда \(с^2 = 4(m^2 + n^2)\), \(a^2= 4(4m^2 + n^2)\) и \(b^2 = 4(m^2 + 4n^2)\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38309: По теореме Пифагора \(AP^2 + BQ^2 + CR^2 = (AM^2 - PM^2) + (BM^2 - QM^2) + (CM^2 - RM^2)\) и \(PB^2 + QC^2 + RA^2 = (BM^2 - PM^2) + (CM^2 - QM^2) + (AM^2 - RM^2)\). Эти выражения равны.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38310: Треугольники \(ACX\) и \(BDX\) прямоугольные, поэтому \(AX^2 + CX^2 = AC^2 = 4R^2\) и \(BX^2 + DX^2 = BD^2 = 4R^2\), где \(R\) радиус окружности.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38311: Достройте прямоугольный треугольник до квадрата, сторона которого равна сумме катетов \(рис. 212\).

Ответ: NaN

Решение №38312: Постройте на большем катете внешним образом квадрат, сторона которого равна разности катетов \(рис. 213\).

Ответ: NaN

Решение №38313: Пусть \(C\) - основание перпендикуляра, проведённого из точки \(M\) к прямой \(AB\). Тогда \(AM^2 = AC^2 + MC^2\) и \(BM^2 = BC^2 + MC^2\). Поэтому \(AM^2 - BM^2 = АС^2 - ВС^2\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38314: Согласно задаче 16.9 для всех точек \(М\), лежащих на прямой, перпендикулярной прямой \(АВ\), величина \(АМ^2 - BM^2\) постоянна. Поэтому достаточно проверить, что для разных точек \(С\) прямой \(АВ\) величина \(АС^2 - ВС^2\) принимает разные значения. Pacсмотрим сначала случай, когда точки \(В\) и \(С\) лежат по одну сторону от середины \(О\) отрезка \(АВ\). В этом случае \(АС^2 - ВС^2 = (AO + OC)^2 - (ВО - ОС)^2 = 4АO \cdot ОС\). Если же точки \(В\) и \(С\) лежат по разные стороны от точки \(О\), то \(АС^2 - ВС^2 = -4AO \cdot ОС\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38315: Треугольник с катетами 12 и 9 \(и гипотенузой 15\) и треугольник с катетами 12 и 5 \(и гипотенузой 13\).

Ответ: Треугольник с катетами 12 и 9 \(и гипотенузой 15\) и треугольник с катетами 12 и 5 \(и гипотенузой 13\).

Решение №38316: Для тупоугольного треугольника приложите треугольники из задачи 16.11 так, чтобы они лежали по одну сторону от общего катета \(рис. 214\). Для остроугольного треугольника приложите треугольники из задачи 16.11 так, чтобы они лежали по разные стороны от общего катета \(рис. 215\). Наибольший угол полученного треугольника лежит против стороны 15; этот угол острый.

Ответ: NaN

Решение №39671: \(c^2 = 2a^2 - по условию. По теореме Пифагора \(c^2 = a^2 + b^2\), тогда получаем систему уравнений: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(c^2 = 2a^2\); \(c^2 = a^2 + b^2\). \end{cases} \end{equation*} \) Вычитаем из пёрвого уравнения второе: \(0 = a^2 - b^2\), следовательно, \(a^2 = b^2\), тогда \(а = b\). По определению равнобедренного треугольника данный треугольник равнобедренный. Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны \(45^\circ\).

Ответ: \(45^\circ\).

Решение №39672: Данный треугольник подобен египетскому треугольнику (прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5) с коэффициентоу подобия 2. Тогда данный треугольник также является прямоугольным. Тогда его наибольший угол равен \(90^\circ\).

Ответ: \(90^\circ\).

Решение №39673: \(а = 3\) см; \(b = 4\) см; \(с = 5\) см. Заметим, что: \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\), это значит, что для данного треугольника выполняется теорема Пифагора, следовательно, он прямоугольный. Тогда данный параллелограмм - прямоугольник.

Ответ: Прямоугольник.

Решение №39674: a) \(CB\); б) \(AC\);

Ответ: a) \(CB\); б) \(AC\);

Решение №39675: a) Если \(а_{1} < а_{2}\), то \(l_{1} < l_{2}\); б) если \(l_{1} = l_{2}\), то \(а_{1} = а_{2}\) (по свойству наклонной).

Ответ: a) \(l_{1} < l_{2}\); б) \(а_{1} = а_{2}\).

Решение №39676: Наклонные равны, только если они проведены из одной точки. \(AD\) - проекция \(СА\), и \(AD\) - проекция \(BA\), но \(AB \neq AC\).

Ответ: Наклонные равны, только если они проведены из одной точки. \(AD\) - проекция \(СА\), и \(AD\) - проекция \(BA\), но \(AB \neq AC\).

Решение №39677: Две наклонных (см. рисунок). \(AD = DB\).

Ответ: NaN

Решение №39678: По теореме Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\); \(с^2 = 9 + 16 = 25\) (см), следовательно, \(с = 5\) (см).

Ответ: \(с = 5\) (см).

Решение №39679: \(a^2 + b^2 = 2,5^2 + 6^2 = 42,25\) (см^2). \(c^2 = 6,5^2 = 42,25\) (см^2), тогда \(c^2 = a^2 + b^2\). По теореме Пифагора этот треугольник - прямоугольный, тогда его наибольший угол равен \(90^\circ\).

Ответ: \(a^2 + b^2 = 2,5^2 + 6^2 = 42,25\) (см^2). \(c^2 = 6,5^2 = 42,25\) (см^2), тогда \(c^2 = a^2 + b^2\). По теореме Пифагора этот треугольник - прямоугольный, тогда его наибольший угол равен \(90^\circ\).

Решение №39680: а) По теореме Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), тогда \(c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25\). Ответ: с = 25. б) \(b^2 = c^2 - a^2\), тогда \(b = \sqrt{9^2 - 17} = \sqrt{64} = 8\). Ответ: \(b = 8\). в) \(a^2 = c^2 - b^2\), тогда \(а = \sqrt{6^2 - 27} = \sqrt{9} = 3\). Ответ: \(а = 3\).

Ответ: а) \(с = 25\); б) \(b = 8\); в) \(а = 3\).

Решение №39681: a) По теореме Пифагора: \(a^2 = a_{l}^2 + h^2\), тогда \(a = \sqrt{a_{l}^2 + h^2}\); \(a = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{1681} = 41\) (см) Ответ: длина наклонной равна 41 см. б) По теореме Пифагора: \(a^2 = a_{l}^2 + h^2\), откуда \(h = \sqrt{a^2 - a_{l}^2}\), \(h = \sqrt{29^2 - 20^2} = \sqrt{441} = 21\) (см). Ответ: длина перпендикуляра равна 21 см.

Ответ: a) Длина наклонной равна 41 см; б) длина перпендикуляра равна 21 см.

Решение №39682: a) По теореме Пифагора \(c^2 = a^2 + b^2\), тогда \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\), \(c = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{676} = 28\) (см) Ответ: диагональ прямоугольника равна 26 см. б) По теореме Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), тогда \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\), \(a = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8\) (см); \(P = 2(a + b)\); \(P = 2(6 + 8) = 28\) (см). Ответ: периметр прямоугольника равен 28 см.

Ответ: a) диагональ прямоугольника равна 26 см; б) периметр прямоугольника равен 28 см.

Решение №39683: По теореме Пифагора \(c^2 = a^2 + b^2\). По определению равнобедренного треугольника \(а = b\). Тогда \(c^2 = 2a^2\); откуда: \(c = \sqrt{2}a\) или \(а = \fraq{c}{\sqrt{2}}\). a) \(а = 4\) см \(\Rightarrow c = \sqrt{2} \cdot 4 = 4\sqrt{2}\) (см); \(a = 2\sqrt{2}\) см \(Rightarrow c = \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 4\) (см); для катета \(a\) см гипотенуза \(с = \sqrt{2}a\) (см). б) \(с = 10\) см \(\Rightarrow а = \fraq{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\) (см); \(c = 12\) см \(\Rightarrow a = \fraq{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1\) (см); для гипотенузы \(c\) см катет \(а = \fraq{c}{\sqrt{2}}\) (см).

Ответ: a) \(c = 4\sqrt{2}\) (см); \(c = 4\) (см); \(с = \sqrt{2}a\) (см). б) \(а = 5\sqrt{2}\) (см); \(a = 1\) (см); \(а = \fraq{c}{\sqrt{2}}\) (см).

Решение №39684: Стороны квадрата с его диагональю образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Тогда аналогично задаче № 428: \(d = \sqrt{2}a\) и \(a = \fraq{d}{\sqrt{2}}\).

Ответ: \(d = \sqrt{2}a\) и \(a = \fraq{d}{\sqrt{2}}\).

Решение №39685: a) \(4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 \neq 6^2\) - не является прямоугольным; б) \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\) - прямоугольный; в) \(2^2 + (\sqrt{7})^2 = 4 + 7 = 11 \neq (\sqrt{13})^2\) - не является прямоугольным; г) \((\sqrt{10})^2 + 6^2 = 10 + 36 = 46 \neq 8^2\) - не является прямоугольным.

Ответ: a) Не является; б) является; в) не является; г) не является.

Решение №39686: \(CB^{2} + AC^{2} = 12^{2} + 16^{2} = 144 + 256 = 400 = 20^{2} - AB^{2}\) Тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, \(\Delta ABC\) - прямоугольный /(\angle ACB = 90^\circ\) По определению биссектрисы \(\angle ACD = \angle DCB = \fraq{1}{2} \angle ACB\), откуда \(\angle DCB = 90^\circ : 2 = 45^\circ\) Ответ: угол равен \(45^\circ\)

Ответ: Ответ: угол равен \(45^\circ\)

Решение №39687: По свойству биссектрисы, медианы и высоты равнобедренного треугольника \(\angle BDC = 90^\circ\) и \(AD = DC= \fraq{1}{2} AC\). Тогда \(ABCD\) - прямоугольный По теореме Пифагора: \(BC = \sqrt{BD^{2} + DC^{2}}\); \(BC = \sqrt{6^{2} + \fraq{16}{2}^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 (см)\) По определению равнобедренного треугольника: \(АВ = ВС = 10 см\). Тогда периметр: \(Р = AB + BC + CA\); \(P = 10 + 10 + 16 = 36 (см)\). Ответ: периметр равен \(36 см\).

Ответ: Ответ: периметр равен \(36 см\).

Решение №39688: По определению равнобедренного треугольника \(ВС = AB = 13 см\). \(P = AB + BC + AC\), тогда основание \(АС: AC = P - AB - BC\); \(AC = 36 - 13 - 13 = 10 (cм)\). По свойству биссеврисы, медианы и высоты равнобедренного треугольника \(AD = DC\); \(\angle BDC= 90^\circ\) \(DC = \fraq{1}{2} AC\); \(DC = 10: 2 = 5 (cм)\). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \(\Delta BCD\): \(BD^{2} + DC^{2} = BC^{2}\), тогда \(BD = \sqrt{13^{2}- 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 (см)\). Ответ: медиана треугольника равна \(12 см\).

Ответ: Ответ: медиана треугольника равна \(12 см\).