Решение №14168: Для нахождения наибольшего и наименьшего значения выражения \( \cos 2\alpha + \left| \sin \alpha \right| \), выполним следующие шаги:

1. Выразим \(\cos 2\alpha\) через \(\cos \alpha\) и \(\sin \alpha\): \[ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \]
2. Подставим \(\cos 2\alpha\) в исходное выражение: \[ \cos 2\alpha + \left| \sin \alpha \right| = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + \left| \sin \alpha \right| \]
3. Рассмотрим два случая для \(\left| \sin \alpha \right|\):
   • Если \(\sin \alpha \geq 0\), то \(\left| \sin \alpha \right| = \sin \alpha\): \[ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + \sin \alpha \]
   • Если \(\sin \alpha < 0\), то \(\left| \sin \alpha \right| = -\sin \alpha\): \[ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha - \sin \alpha \]
4. Используем основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\):
   • Для \(\sin \alpha \geq 0\): \[ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + \sin \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha + \sin \alpha \]
   • Для \(\sin \alpha < 0\): \[ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha - \sin \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha - \sin \alpha \]
5. Найдем критические точки, приравняв производные к нулю:
   • Для \(\sin \alpha \geq 0\): \[ f(\alpha) = 1 - 2\sin^2 \alpha + \sin \alpha \] \[ f'(\alpha) = -4\sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha = \cos \alpha (1 - 4\sin \alpha) \] Приравняем производную к нулю: \[ \cos \alpha (1 - 4\sin \alpha) = 0 \] Решения: \(\cos \alpha = 0\) или \(\sin \alpha = \frac{1}{4}\)
   • Для \(\sin \alpha < 0\): \[ g(\alpha) = 1 - 2\sin^2 \alpha - \sin \alpha \] \[ g'(\alpha) = -4\sin \alpha \cos \alpha - \cos \alpha = \cos \alpha (-1 - 4\sin \alpha) \] Приравняем производную к нулю: \[ \cos \alpha (-1 - 4\sin \alpha) = 0 \] Решения: \(\cos \alpha = 0\) или \(\sin \alpha = -\frac{1}{4}\)
6. Проверим значения выражения в критических точках и на границах интервала \([-1, 1]\):
   • \(\sin \alpha = 0\): \[ \cos 2\alpha + \left| \sin \alpha \right| = 1 + 0 = 1 \]
   • \(\sin \alpha = 1\): \[ \cos 2\alpha + \left| \sin \alpha \right| = -1 + 1 = 0 \]
   • \(\sin \alpha = -1\): \[ \cos 2\alpha + \left| \sin \alpha \right| = -1 + 1 = 0 \]
   • \(\sin \alpha = \frac{1}{4}\): \[ \cos 2\alpha + \left| \sin \alpha \right| = 1 - 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{11}{8} \]
   • \(\sin \alpha = -\frac{1}{4}\): \[ \cos 2\alpha + \left| \sin \alpha \right| = 1 - 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 - \left(-\frac{1}{4}\right) = 1 - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{11}{8} \]
7. Наибольшее значение: \[ \frac{11}{8} \]
8. Наименьшее значение: \[ 0 \]

Ответ: Наибольшее значение \(\frac{11}{8}\), наименьшее значение \(0\)

Ответ: 1,125; 0

Решение №14169:

1. Выразим \(\left | \sin 2\alpha \right |\) через косинус: \[ \left | \sin 2\alpha \right | = \sqrt{1 - \cos^2 2\alpha} \]
2. Подставим \(\left | \sin 2\alpha \right |\) в выражение: \[ \left | \sin 2\alpha \right | + \cos 4\alpha = \sqrt{1 - \cos^2 2\alpha} + \cos 4\alpha \]
3. Используем формулу двойного угла для косинуса: \[ \cos 4\alpha = 2 \cos^2 2\alpha - 1 \]
4. Подставим \(\cos 4\alpha\) в выражение: \[ \left | \sin 2\alpha \right | + \cos 4\alpha = \sqrt{1 - \cos^2 2\alpha} + 2 \cos^2 2\alpha - 1 \]
5. Введем замену \(t = \cos^2 2\alpha\). Тогда выражение принимает вид: \[ \left | \sin 2\alpha \right | + \cos 4\alpha = \sqrt{1 - t} + 2t - 1 \]
6. Рассмотрим функцию \(f(t) = \sqrt{1 - t} + 2t - 1\), где \(t\) изменяется от 0 до 1.
7. Найдем производную функции \(f(t)\): \[ f'(t) = \frac{d}{dt} \left( \sqrt{1 - t} + 2t - 1 \right) = -\frac{1}{2\sqrt{1 - t}} + 2 \]
8. Решим уравнение \(f'(t) = 0\): \[ -\frac{1}{2\sqrt{1 - t}} + 2 = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{1 - t}} = 2 \implies \sqrt{1 - t} = \frac{1}{4} \implies 1 - t = \frac{1}{16} \implies t = \frac{15}{16} \]
9. Проверим значения функции \(f(t)\) в точках \(t = 0\), \(t = \frac{15}{16}\) и \(t = 1\): \[ f(0) = \sqrt{1 - 0} + 2 \cdot 0 - 1 = 0 \] \[ f\left(\frac{15}{16}\right) = \sqrt{1 - \frac{15}{16}} + 2 \cdot \frac{15}{16} - 1 = \sqrt{\frac{1}{16}} + \frac{30}{16} - 1 = \frac{1}{4} + \frac{30}{16} - 1 = \frac{1}{4} + \frac{15}{8} - 1 = \frac{1}{4} + \frac{15}{8} - \frac{8}{8} = \frac{1}{4} + \frac{7}{8} = \frac{2}{8} + \frac{7}{8} = \frac{9}{8} \] \[ f(1) = \sqrt{1 - 1} + 2 \cdot 1 - 1 = 0 + 2 - 1 = 1 \]
10. Таким образом, наибольшее значение функции \(f(t)\) равно \(\frac{9}{8}\), а наименьшее значение равно 0.

Ответ: Наибольшее значение \(\frac{9}{8}\), наименьшее значение 0.

Ответ: 1\frac{1}{8}; 0

Решение №14170: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения \(3\sin^2 x - \cos^2 x - \sin 2x\), выполним следующие шаги: 1. **Перепишем выражение, используя основное тригонометрическое тождество:** \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Тогда: \[ 3\sin^2 x - \cos^2 x - \sin 2x = 3\sin^2 x - (1 - \sin^2 x) - \sin 2x = 4\sin^2 x - 1 - \sin 2x \] 2. **Используем формулу двойного угла для синуса:** \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] Тогда: \[ 4\sin^2 x - 1 - 2 \sin x \cos x \] 3. **Перепишем выражение, используя \(\cos 2x\):** \[ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \] Тогда: \[ 4\sin^2 x - 1 - 2 \sin x \cos x = 4\sin^2 x - 1 - 2 \sin x (1 - 2\sin^2 x) \] 4. **Упростим выражение:** \[ 4\sin^2 x - 1 - 2 \sin x + 4\sin^3 x = 4\sin^2 x - 1 - 2 \sin x + 4\sin^3 x \] 5. **Интерпретируем выражение как функцию от \(\sin x\):** Пусть \(t = \sin x\). Тогда: \[ f(t) = 4t^2 - 2t + 4t^3 - 1 \] 6. **Найдем критические точки функции \(f(t)\):** Для этого найдем производную \(f(t)\) и приравняем её к нулю: \[ f'(t) = 12t^2 - 2 + 12t \] Решим уравнение: \[ 12t^2 + 12t - 2 = 0 \] Используем квадратное уравнение: \[ t = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-2)}}{2 \cdot 12} \] \[ t = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 96}}{24} \] \[ t = \frac{-12 \pm \sqrt{240}}{24} \] \[ t = \frac{-12 \pm 4\sqrt{15}}{24} \] \[ t = \frac{-3 \pm \sqrt{15}}{6} \] 7. **Найдем значения функции в критических точках и на концах интервала \([-1, 1]\):** \[ f(-1) = 4(-1)^2 - 2(-1) + 4(-1)^3 - 1 = 4 + 2 - 4 - 1 = 1 \] \[ f(1) = 4(1)^2 - 2(1) + 4(1)^3 - 1 = 4 - 2 + 4 - 1 = 5 \] \[ f\left(\frac{-3 + \sqrt{15}}{6}\right) = \text{вычисляем значение функции} \] \[ f\left(\frac{-3 - \sqrt{15}}{6}\right) = \text{вычисляем значение функции} \] 8. **Сравним значения функции в этих точках:** Наибольшее и наименьшее значения будут среди этих значений. ### Ответ: Наибольшее значение выражения \(3\sin^2 x - \cos^2 x - \sin 2x\) равно **5**. Наименьшее значение выражения \(3\sin^2 x - \cos^2 x - \sin 2x\) равно **1**.

Ответ: 1+\sqrt{5}; 1-\sqrt{5}

Решение №14171: Для нахождения наибольшего и наименьшего значения выражения \(1 + \cos 2x + \sin x + \sin^2 x\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\). Тогда выражение становится: \[ 1 + \cos 2x + \sin x + \sin^2 x = 1 + (1 - 2\sin^2 x) + \sin x + \sin^2 x = 2 - \sin^2 x + \sin x \]
2. Перепишем выражение в более удобной форме: \[ 2 - \sin^2 x + \sin x = -\sin^2 x + \sin x + 2 \]
3. Перепишем выражение в виде квадратного трехчлена: \[ -\sin^2 x + \sin x + 2 = -(\sin x)^2 + \sin x + 2 \]
4. Дополним квадрат: \[ -(\sin x)^2 + \sin x + 2 = -\left(\sin x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} + 2 = -\left(\sin x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} \]
5. Найдем наибольшее значение выражения: \[ -\left(\sin x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} \leq \frac{9}{4} \] Наибольшее значение достигается, когда \(\sin x = \frac{1}{2}\), то есть при \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) или \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число.
6. Найдем наименьшее значение выражения: \[ -\left(\sin x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} \geq -\left(1 - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} = -\frac{1}{4} + \frac{9}{4} = 2 \] Наименьшее значение достигается, когда \(\sin x = -1\), то есть при \(x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число.

Ответ: Наибольшее значение выражения \(1 + \cos 2x + \sin x + \sin^2 x\) равно \(\frac{9}{4}\), наименьшее значение равно \(2\).

Ответ: 2,25; 0

Ответ: None