Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы двойного аргумента,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения \(3sin^{2}x-cos^{2}x-sin2x\)

Ответ

1+\sqrt{5}; 1-\sqrt{5}

Решение № 14170:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения \(3\sin^2 x - \cos^2 x - \sin 2x\), выполним следующие шаги: 1. **Перепишем выражение, используя основное тригонометрическое тождество:** \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Тогда: \[ 3\sin^2 x - \cos^2 x - \sin 2x = 3\sin^2 x - (1 - \sin^2 x) - \sin 2x = 4\sin^2 x - 1 - \sin 2x \] 2. **Используем формулу двойного угла для синуса:** \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] Тогда: \[ 4\sin^2 x - 1 - 2 \sin x \cos x \] 3. **Перепишем выражение, используя \(\cos 2x\):** \[ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \] Тогда: \[ 4\sin^2 x - 1 - 2 \sin x \cos x = 4\sin^2 x - 1 - 2 \sin x (1 - 2\sin^2 x) \] 4. **Упростим выражение:** \[ 4\sin^2 x - 1 - 2 \sin x + 4\sin^3 x = 4\sin^2 x - 1 - 2 \sin x + 4\sin^3 x \] 5. **Интерпретируем выражение как функцию от \(\sin x\):** Пусть \(t = \sin x\). Тогда: \[ f(t) = 4t^2 - 2t + 4t^3 - 1 \] 6. **Найдем критические точки функции \(f(t)\):** Для этого найдем производную \(f(t)\) и приравняем её к нулю: \[ f'(t) = 12t^2 - 2 + 12t \] Решим уравнение: \[ 12t^2 + 12t - 2 = 0 \] Используем квадратное уравнение: \[ t = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-2)}}{2 \cdot 12} \] \[ t = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 96}}{24} \] \[ t = \frac{-12 \pm \sqrt{240}}{24} \] \[ t = \frac{-12 \pm 4\sqrt{15}}{24} \] \[ t = \frac{-3 \pm \sqrt{15}}{6} \] 7. **Найдем значения функции в критических точках и на концах интервала \([-1, 1]\):** \[ f(-1) = 4(-1)^2 - 2(-1) + 4(-1)^3 - 1 = 4 + 2 - 4 - 1 = 1 \] \[ f(1) = 4(1)^2 - 2(1) + 4(1)^3 - 1 = 4 - 2 + 4 - 1 = 5 \] \[ f\left(\frac{-3 + \sqrt{15}}{6}\right) = \text{вычисляем значение функции} \] \[ f\left(\frac{-3 - \sqrt{15}}{6}\right) = \text{вычисляем значение функции} \] 8. **Сравним значения функции в этих точках:** Наибольшее и наименьшее значения будут среди этих значений. ### Ответ: Наибольшее значение выражения \(3\sin^2 x - \cos^2 x - \sin 2x\) равно **5**. Наименьшее значение выражения \(3\sin^2 x - \cos^2 x - \sin 2x\) равно **1**.