Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы двойного аргумента,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Информация о книге не найдена
Условие
Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения \(\left | sin2\alpha \right |+cos4\alpha \)
Ответ
1\frac{1}{8}; 0
Решение № 14169:
- Выразим \(\left | \sin 2\alpha \right |\) через косинус:
\[
\left | \sin 2\alpha \right | = \sqrt{1 - \cos^2 2\alpha}
\]
- Подставим \(\left | \sin 2\alpha \right |\) в выражение:
\[
\left | \sin 2\alpha \right | + \cos 4\alpha = \sqrt{1 - \cos^2 2\alpha} + \cos 4\alpha
\]
- Используем формулу двойного угла для косинуса:
\[
\cos 4\alpha = 2 \cos^2 2\alpha - 1
\]
- Подставим \(\cos 4\alpha\) в выражение:
\[
\left | \sin 2\alpha \right | + \cos 4\alpha = \sqrt{1 - \cos^2 2\alpha} + 2 \cos^2 2\alpha - 1
\]
- Введем замену \(t = \cos^2 2\alpha\). Тогда выражение принимает вид:
\[
\left | \sin 2\alpha \right | + \cos 4\alpha = \sqrt{1 - t} + 2t - 1
\]
- Рассмотрим функцию \(f(t) = \sqrt{1 - t} + 2t - 1\), где \(t\) изменяется от 0 до 1.
- Найдем производную функции \(f(t)\):
\[
f'(t) = \frac{d}{dt} \left( \sqrt{1 - t} + 2t - 1 \right) = -\frac{1}{2\sqrt{1 - t}} + 2
\]
- Решим уравнение \(f'(t) = 0\):
\[
-\frac{1}{2\sqrt{1 - t}} + 2 = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{1 - t}} = 2 \implies \sqrt{1 - t} = \frac{1}{4} \implies 1 - t = \frac{1}{16} \implies t = \frac{15}{16}
\]
- Проверим значения функции \(f(t)\) в точках \(t = 0\), \(t = \frac{15}{16}\) и \(t = 1\):
\[
f(0) = \sqrt{1 - 0} + 2 \cdot 0 - 1 = 0
\]
\[
f\left(\frac{15}{16}\right) = \sqrt{1 - \frac{15}{16}} + 2 \cdot \frac{15}{16} - 1 = \sqrt{\frac{1}{16}} + \frac{30}{16} - 1 = \frac{1}{4} + \frac{30}{16} - 1 = \frac{1}{4} + \frac{15}{8} - 1 = \frac{1}{4} + \frac{15}{8} - \frac{8}{8} = \frac{1}{4} + \frac{7}{8} = \frac{2}{8} + \frac{7}{8} = \frac{9}{8}
\]
\[
f(1) = \sqrt{1 - 1} + 2 \cdot 1 - 1 = 0 + 2 - 1 = 1
\]
- Таким образом, наибольшее значение функции \(f(t)\) равно \(\frac{9}{8}\), а наименьшее значение равно 0.
Ответ: Наибольшее значение \(\frac{9}{8}\), наименьшее значение 0.