Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы двойного аргумента,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Информация о книге не найдена
Условие
Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения \(1+cos2x+sinx+sin^{2}x\)
Ответ
2,25; 0
Решение № 14171:
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения выражения \(1 + \cos 2x + \sin x + \sin^2 x\), необходимо выполнить следующие шаги:
- Используем формулу двойного угла для косинуса:
\(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\). Тогда выражение становится:
\[
1 + \cos 2x + \sin x + \sin^2 x = 1 + (1 - 2\sin^2 x) + \sin x + \sin^2 x = 2 - \sin^2 x + \sin x
\]
- Перепишем выражение в более удобной форме:
\[
2 - \sin^2 x + \sin x = -\sin^2 x + \sin x + 2
\]
- Перепишем выражение в виде квадратного трехчлена:
\[
-\sin^2 x + \sin x + 2 = -(\sin x)^2 + \sin x + 2
\]
- Дополним квадрат:
\[
-(\sin x)^2 + \sin x + 2 = -\left(\sin x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} + 2 = -\left(\sin x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{4}
\]
- Найдем наибольшее значение выражения:
\[
-\left(\sin x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} \leq \frac{9}{4}
\]
Наибольшее значение достигается, когда \(\sin x = \frac{1}{2}\), то есть при \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) или \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число.
- Найдем наименьшее значение выражения:
\[
-\left(\sin x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} \geq -\left(1 - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} = -\frac{1}{4} + \frac{9}{4} = 2
\]
Наименьшее значение достигается, когда \(\sin x = -1\), то есть при \(x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число.
Ответ: Наибольшее значение выражения \(1 + \cos 2x + \sin x + \sin^2 x\) равно \(\frac{9}{4}\), наименьшее значение равно \(2\).